Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas: Ache o volume do sólido delimitado pelo cone , pelo cilindro e pelo plano xy.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o volume de um sólido limitado por três superfícies: o cone dado por , o cilindro e o plano xy. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar entender como transformar as equações dadas para coordenadas esféricas e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é representado por , onde:
é a distância do ponto até a origem,
é o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
é o ângulo a partir do eixo z.
A transformação das coordenadas cartesianas para esféricas é dada por:
Também, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos transformar as equações do cone e do cilindro para coordenadas esféricas.
Para o cone :
Simplificando, temos:
Para o cilindro :
Como , temos:
Passo 4
O plano xy é simplesmente , que em coordenadas esféricas é .
Agora, vamos determinar os limites de integração:
varia de a (cobrindo toda a circunferência),
varia de a (do eixo z até o cone),
varia de até (do centro até o cilindro).
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas para calcular o volume:
Vamos resolver a integral em primeiro:
Passo 6
Substituímos de volta na integral:
Sabemos que , cuja integral é:
Passo 7
Integrando em :
Sabemos que e tende ao infinito positivo. Isso sugere que o volume está indo ao infinito, mas isso não faz sentido físico no contexto do problema.
Passo 8
Vamos revisar os limites. Na verdade, o limite correto para deve ser até o ponto onde o cone e o cilindro se interceptam. Encontramos que:
No cone, , então:
Portanto, o limite superior de é , independentemente de .