Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas: Ache o volume do sólido delimitado pelo cone , pelo cilindro e pelo plano xy.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o volume de um sólido limitado por três superfícies: o cone dado por , o cilindro e o plano xy. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar entender como transformar as equações dadas para coordenadas esféricas e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem,
  • é o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
  • é o ângulo a partir do eixo z.
A transformação das coordenadas cartesianas para esféricas é dada por:
Também, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos transformar as equações do cone e do cilindro para coordenadas esféricas.
Para o cone :
Simplificando, temos:
Para o cilindro :
Como , temos:

Passo 4

O plano xy é simplesmente , que em coordenadas esféricas é .
Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • varia de a (cobrindo toda a circunferência),
  • varia de a (do eixo z até o cone),
  • varia de até (do centro até o cilindro).

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas para calcular o volume:
Vamos resolver a integral em primeiro:

Passo 6

Substituímos de volta na integral:
Sabemos que , cuja integral é:

Passo 7

Integrando em :
Sabemos que e tende ao infinito positivo. Isso sugere que o volume está indo ao infinito, mas isso não faz sentido físico no contexto do problema.

Passo 8

Vamos revisar os limites. Na verdade, o limite correto para deve ser até o ponto onde o cone e o cilindro se interceptam. Encontramos que:
No cone, , então:
Portanto, o limite superior de é , independentemente de .

Passo 9

Reformulando a integral com o limite corrigido:
Integrando em :

Passo 10

Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas:
Utilize mudança de variáveis apropriada para calcular
onde é a região do primeiro quadrante contida no círculo .
Considere o vetor unitário e a função dada por
a) Calcule e .
b) Determine a derivada direcional .
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.
Calcule o seguinte limite: