Utilize mudança de variáveis apropriada para calcular
onde é a região do primeiro quadrante contida no círculo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla sobre uma região R no primeiro quadrante, que está dentro do círculo definido por . O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, mais especificamente integração dupla usando mudança de variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a região de integração e escolher uma substituição de variáveis que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região R. O círculo pode ser reescrito completando o quadrado:
Isso representa um círculo com centro em (0,1) e raio 1. Como estamos no primeiro quadrante, R é a parte desse círculo onde e .
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função que queremos integrar:
Essa expressão representa metade da distância do ponto (x,y) até o ponto (0,1). Para simplificar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis que centralize o círculo na origem.
Passo 4
Vamos definir novas variáveis e da seguinte forma:
Com essa substituição, o círculo passa a ser , que é um círculo de raio 1 centrado na origem. Além disso, como estamos no primeiro quadrante original, agora teremos e , mas dentro do círculo .
Passo 5
Precisamos também calcular o jacobiano dessa transformação. Como a mudança de variável é linear e , , o jacobiano é:
Então, .
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral em termos de e :
Passo 7
Vamos agora mudar para coordenadas polares, onde e . Nesse caso, e o jacobiano para coordenadas polares é . Os limites para vão de 0 a 1 e para vão de 0 a (primeiro quadrante).
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Passo 10
Agora, substituímos esse resultado na integral externa: