Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas: integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2) d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2) d z , d y , d x
usando coordenadas esféricas. A matéria aqui envolve integração múltipla e mudança de coordenadas. Vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas para esféricas, calcular o jacobiano dessa transformação e determinar os novos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto é descrito por três parâmetros:
x = r sin phi cos theta y = r sin phi sin theta z = r cos phi
onde:
  • é a distância do ponto até a origem,
  • é o ângulo polar (entre o eixo z e o vetor ),
  • é o ângulo azimutal (no plano xy).

Passo 3

Agora, vamos calcular o jacobiano dessa transformação. O jacobiano é necessário para ajustar o elemento de volume quando mudamos de coordenadas cartesianas para esféricas. O jacobiano para coordenadas esféricas é:
J = r^2 sin phi
Então, o elemento de volume dx , dy , dz = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta se transforma em:

Passo 4

Vamos reescrever a função x^2 + y^2 + z^2 = (r sin phi cos theta)^2 + (r sin phi sin theta)^2 + (r cos phi)^2 = r^2 em coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de , temos:
Portanto, a função dentro da integral simplifica para .

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando os limites originais:
  • varia de -2 a 2,
  • varia de a ,
  • varia de a .
Esses limites correspondem a uma região onde varia de 0 a 2 (raio máximo do cilindro ), varia de 0 a (já que ), e varia de 0 a (completando o círculo completo no plano xy).

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral original em coordenadas esféricas usando tudo que vimos:
integral0^2pi integral0^pi4 integral0^2 r^2 cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^2 r^4 sin phi , dr , dphi , dtheta

Passo 7

Vamos agora integrar em relação a integral0^2 r^4 , dr = [ r^55 ]0^2 = 325 :

Passo 8

Em seguida, integramos em relação a integral0^pi4 sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22 :

Passo 9

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Passo 10

Agora, juntando tudo, temos:
325 times (1 - raiz22) times 2pi = 64pi5 (1 - raiz22)
Simplificando:
64pi5 (1 - raiz22) = 64pi5 (2 - raiz22) = 32pi (2 - raiz2)5

Resposta

A integral vale .

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