Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
usando coordenadas esféricas. A matéria aqui envolve integração múltipla e mudança de coordenadas. Vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas para esféricas, calcular o jacobiano dessa transformação e determinar os novos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto é descrito por três parâmetros:
onde:
  • é a distância do ponto até a origem,
  • é o ângulo polar (entre o eixo z e o vetor ),
  • é o ângulo azimutal (no plano xy).

Passo 3

Agora, vamos calcular o jacobiano dessa transformação. O jacobiano é necessário para ajustar o elemento de volume quando mudamos de coordenadas cartesianas para esféricas. O jacobiano para coordenadas esféricas é:
Então, o elemento de volume se transforma em:

Passo 4

Vamos reescrever a função em coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de , temos:
Portanto, a função dentro da integral simplifica para .

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando os limites originais:
  • varia de -2 a 2,
  • varia de a ,
  • varia de a .
Esses limites correspondem a uma região onde varia de 0 a 2 (raio máximo do cilindro ), varia de 0 a (já que ), e varia de 0 a (completando o círculo completo no plano xy).

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral original em coordenadas esféricas usando tudo que vimos:

Passo 7

Vamos agora integrar em relação a :

Passo 8

Em seguida, integramos em relação a :

Passo 9

Por fim, integramos em relação a :

Passo 10

Agora, juntando tudo, temos:
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Utilize mudança de variáveis apropriada para calcular
onde é a região do primeiro quadrante contida no círculo .
Calcule
onde é a interseção de e .
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas: Ache o volume do sólido delimitado pelo cone , pelo cilindro e pelo plano xy.
Considere o vetor unitário e a função dada por
a) Calcule e .
b) Determine a derivada direcional .
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.