Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
usando coordenadas esféricas. A matéria aqui envolve integração múltipla e mudança de coordenadas. Vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas para esféricas, calcular o jacobiano dessa transformação e determinar os novos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto é descrito por três parâmetros:
onde:
-
é a distância do ponto até a origem, -
é o ângulo polar (entre o eixo z e o vetor ), -
é o ângulo azimutal (no plano xy).
Passo 3
Agora, vamos calcular o jacobiano dessa transformação. O jacobiano é necessário para ajustar o elemento de volume quando mudamos de coordenadas cartesianas para esféricas. O jacobiano para coordenadas esféricas é:
Então, o elemento de volume
se transforma em:
Passo 4
Vamos reescrever a função
em coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de
, temos:
Portanto, a função dentro da integral simplifica para
.
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando os limites originais:
-
varia de -2 a 2, -
varia de a , -
varia de a .
Esses limites correspondem a uma região onde
varia de 0 a 2 (raio máximo do cilindro
),
varia de 0 a
(já que
), e
varia de 0 a
(completando o círculo completo no plano xy).
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral original em coordenadas esféricas usando tudo que vimos:
Passo 7
Vamos agora integrar em relação a
:
Passo 8
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 9
Por fim, integramos em relação a
:
Passo 10
Agora, juntando tudo, temos:
Simplificando:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Utilize mudança de variáveis apropriada para calcular
onde
é a região do primeiro quadrante contida no círculo
.
Calcule
onde
é a interseção de
e
.
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas: Ache o volume do sólido delimitado pelo cone
, pelo cilindro
e pelo plano xy.
Considere o vetor unitário
e a função dada por
a) Calcule
e
.
b) Determine a derivada direcional .
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.
b) Determine a derivada direcional
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.