Considere o vetor unitário e a função dada por
a) Calcule e .
b) Determine a derivada direcional .
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor unitário e uma função que muda dependendo se é igual a ou não. A gente precisa calcular o gradiente de em , o produto desse gradiente com o vetor , a derivada direcional na direção de , e depois comparar esses valores para ver se tudo está de acordo com os Teoremas que conhecemos. Para isso, vamos precisar entender conceitos como derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente de em . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja, .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto . A definição da derivada parcial é:
Observando a função, quando , temos:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto . Usando a definição:
Novamente, observando a função, quando , temos:
Portanto:

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente em é:
Agora, vamos calcular o produto desse gradiente com o vetor :

Passo 6

Agora, vamos determinar a derivada direcional . A definição da derivada direcional na direção de é:
Substituindo :
Então:
Mas, ao reavaliar, percebemos que houve um erro na simplificação. Vamos refazer:
Na verdade, ao simplificar a expressão:
Contudo, a correção adequada levaria a:

Resposta

a) O gradiente e o produto .
b) A derivada direcional .
c) Os valores obtidos são diferentes: enquanto . Isso contradiz o Teorema que afirma que, se o gradiente existe, a derivada direcional na direção de deve ser igual ao produto do gradiente por . Nesse caso, o gradiente sendo zero mas a derivada direcional sendo diferente de zero indica que o gradiente de em não está bem definido conforme o esperado.

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