Considere o vetor unitário u = (raiz(3)/2, 1/2) e a função dada por
f(x, y) = { (x * y^2) / (x^2 + y^4) , se (x, y) != (0, 0) ; 0 , se (x, y) = (0, 0) }
a) Calcule nabla f(0,0) e nabla f(0,0) . u.
b) Determine a derivada direcional D_u f(0,0).
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor unitário e uma função f(x, y) que muda dependendo se (x, y) é igual a (0,0) ou não. A gente precisa calcular o gradiente de f em (0,0), o produto desse gradiente com o vetor u, a derivada direcional na direção de u, e depois comparar esses valores para ver se tudo está de acordo com os Teoremas que conhecemos. Para isso, vamos precisar entender conceitos como derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente de f em (0,0). O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a x e y. Ou seja, .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a x no ponto (0,0). A definição da derivada parcial é:
Observando a função, quando , temos:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y no ponto (0,0). Usando a definição:
Novamente, observando a função, quando x = 0, temos:
Portanto:

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente em (0,0) é:
Agora, vamos calcular o produto desse gradiente com o vetor u:

Passo 6

Agora, vamos determinar a derivada direcional D_u f(0,0). A definição da derivada direcional na direção de u é:
Substituindo u:
Então:
Mas, ao reavaliar, percebemos que houve um erro na simplificação. Vamos refazer:
Na verdade, ao simplificar a expressão:
Contudo, a correção adequada levaria a:

Resposta

a) O gradiente e o produto .
b) A derivada direcional .
c) Os valores obtidos são diferentes: enquanto . Isso contradiz o Teorema que afirma que, se o gradiente existe, a derivada direcional na direção de u deve ser igual ao produto do gradiente por u. Nesse caso, o gradiente sendo zero mas a derivada direcional sendo diferente de zero indica que o gradiente de f em (0,0) não está bem definido conforme o esperado.

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