Considere o vetor unitário
e a função dada por
a) Calcule
e
.
b) Determine a derivada direcional
.
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.
b) Determine a derivada direcional
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor unitário
e uma função
que muda dependendo se
é igual a
ou não. A gente precisa calcular o gradiente de
em
, o produto desse gradiente com o vetor
, a derivada direcional na direção de
, e depois comparar esses valores para ver se tudo está de acordo com os Teoremas que conhecemos. Para isso, vamos precisar entender conceitos como derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Vamos começar calculando o gradiente de
em
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
. Ou seja,
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
. A definição da derivada parcial é:
Observando a função, quando
, temos:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
. Usando a definição:
Novamente, observando a função, quando
, temos:
Portanto:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente em
é:
Agora, vamos calcular o produto desse gradiente com o vetor
:
Passo 6
Agora, vamos determinar a derivada direcional
. A definição da derivada direcional na direção de
é:
Substituindo
:
Então:
Mas, ao reavaliar, percebemos que houve um erro na simplificação. Vamos refazer:
Na verdade, ao simplificar a expressão:
Contudo, a correção adequada levaria a:
Resposta
a) O gradiente
e o produto
.
b) A derivada direcional
.
c) Os valores obtidos são diferentes:
enquanto
. Isso contradiz o Teorema que afirma que, se o gradiente existe, a derivada direcional na direção de
deve ser igual ao produto do gradiente por
. Nesse caso, o gradiente sendo zero mas a derivada direcional sendo diferente de zero indica que o gradiente de
em
não está bem definido conforme o esperado.
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