Calcule o seguinte limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo de limites e fatoração de polinômios. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar o cálculo do limite.
Passo 2
Primeiro, substituímos
por 1 na expressão para ver o que acontece:
Esse resultado é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Como estamos lidando com um polinômio no numerador, podemos tentar fatorar
. Esse tipo de expressão é uma diferença de cubos, e a fórmula para fatorar diferença de cubos é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Aplicando a fatoração na expressão
, temos:
Agora, nossa expressão original fica:
Passo 5
Podemos simplificar a fração cancelando o termo
que aparece no numerador e no denominador:
Agora, para encontrar o limite, substituímos
por 1 na expressão simplificada.
Passo 6
Substituindo
em
:
Resposta
O limite é igual a 3.
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e a função dada por
a) Calcule
e
.
b) Determine a derivada direcional .
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.
b) Determine a derivada direcional
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usando a definição de derivada.
Seja
.
a) Determine os pontos críticos de f(x).
b) Classifique os pontos críticos em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e os intervalos onde f(x) é decrescente.
d) Determine os intervalos onde f(x) tem concavidade para cima e os intervalos onde f(x) tem concavidade para baixo.
e) Esboce o gráfico de f(x).
a) Determine os pontos críticos de f(x).
b) Classifique os pontos críticos em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e os intervalos onde f(x) é decrescente.
d) Determine os intervalos onde f(x) tem concavidade para cima e os intervalos onde f(x) tem concavidade para baixo.
e) Esboce o gráfico de f(x).