Calcule o seguinte limite:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de quando se aproxima de 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo de limites e fatoração de polinômios. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, substituímos por 1 na expressão para ver o que acontece:
Esse resultado é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Como estamos lidando com um polinômio no numerador, podemos tentar fatorar . Esse tipo de expressão é uma diferença de cubos, e a fórmula para fatorar diferença de cubos é:
Aqui, e .

Passo 4

Aplicando a fatoração na expressão , temos:
Agora, nossa expressão original fica:

Passo 5

Podemos simplificar a fração cancelando o termo que aparece no numerador e no denominador:
Agora, para encontrar o limite, substituímos por 1 na expressão simplificada.

Passo 6

Substituindo em :

Resposta

O limite é igual a 3.

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Considere o vetor unitário e a função dada por
a) Calcule e .
b) Determine a derivada direcional .
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas: Ache o volume do sólido delimitado pelo cone , pelo cilindro e pelo plano xy.
Determine a derivada de usando a definição de derivada.
Seja .
a) Determine os pontos críticos de f(x).
b) Classifique os pontos críticos em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e os intervalos onde f(x) é decrescente.
d) Determine os intervalos onde f(x) tem concavidade para cima e os intervalos onde f(x) tem concavidade para baixo.
e) Esboce o gráfico de f(x).