Vamos resolver ainda de outra maneira a equação linear de primeira ordem d yd t+p(t) y=g(t).
Mostre que se g(t) é a função nula, então y(t)=C e^-integral p(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é tipo uma equação que relaciona uma função desconhecida e sua derivada . A equação que queremos resolver é . Nosso objetivo é mostrar que, se for a função nula (ou seja, ), a solução geral para é , onde é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. É uma equação linear de primeira ordem porque a função e sua derivada aparecem de forma linear (sem potências ou multiplicações entre elas). A função é um coeficiente que pode depender de , e é uma função que também pode depender de .

Passo 3

Nos casos onde , a equação fica mais simples: . Essa é uma equação diferencial homogênea, o que significa que não tem um termo independente.

Passo 4

Para resolver essa equação, a gente pode usar o método do fator integrante. O objetivo aqui é multiplicar toda a equação por uma função que vai simplificar a equação para que possamos integrá-la facilmente.

Passo 5

O fator integrante e^integral p(t) dt dydt + e^integral p(t) dt p(t) y = 0 é dado por . Multiplicando a equação original por , temos:

Passo 6

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddt ( e^integral p(t) dt y ) = 0 . Ou seja:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a e^integral p(t) dt y = C , obtemos:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Isolando y(t) = C e^-integral p(t) dt , temos:
Isso mostra que a solução geral da equação diferencial quando é de fato .

Resposta

Portanto, se é a função nula, então a solução é .

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