Vamos resolver ainda de outra maneira a equação linear de primeira ordem
.
Mostre que se
é a função nula, então
.
Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é tipo uma equação que relaciona uma função desconhecida
e sua derivada
. A equação que queremos resolver é
. Nosso objetivo é mostrar que, se
for a função nula (ou seja,
), a solução geral para
é
, onde
é uma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. É uma equação linear de primeira ordem porque a função
e sua derivada aparecem de forma linear (sem potências ou multiplicações entre elas). A função
é um coeficiente que pode depender de
, e
é uma função que também pode depender de
.
Passo 3
Nos casos onde
, a equação fica mais simples:
. Essa é uma equação diferencial homogênea, o que significa que não tem um termo independente.
Passo 4
Para resolver essa equação, a gente pode usar o método do fator integrante. O objetivo aqui é multiplicar toda a equação por uma função que vai simplificar a equação para que possamos integrá-la facilmente.
Passo 5
O fator integrante
é dado por
. Multiplicando a equação original por
, temos:
Passo 6
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Isolando
, temos:
Isso mostra que a solução geral da equação diferencial quando
é de fato
.
Resposta
Portanto, se
é a função nula, então a solução é
.
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial:
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas Ache o volume do sólido situado acima do cone
e interior a esfera
.
Verifique se as equações são exatas. Se não forem, tente encontrar uma função multiplicadora
que não dependa de
, mas apenas da variável dependente, que torne a equação exata. Se existir tal multiplicador, resolva a equação.
.
Resolva os problemas de valor inicial: