Resolva os problemas de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante para resolver equações lineares. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação e que, quando , .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma a identificar os coeficientes. Temos:
Podemos colocar essa equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A ideia aqui é que o lado esquerdo é a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas Ache o volume do sólido situado acima do cone e interior a esfera .
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido O sólido limitado pelo cilindro pelos planos .
Vamos resolver ainda de outra maneira a equação linear de primeira ordem .
Mostre que se é a função nula, então .
Verifique se as equações são exatas. Se não forem, tente encontrar uma função multiplicadora que não dependa de , mas apenas da variável dependente, que torne a equação exata. Se existir tal multiplicador, resolva a equação.
.