Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante para resolver equações lineares. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação
e que, quando
,
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma a identificar os coeficientes. Temos:
Podemos colocar essa equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A ideia aqui é que o lado esquerdo é a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: