Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em
.
h)
em
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Lembra que a derivada parcial de
em relação a
é como se estivéssemos vendo a inclinação da superfície apenas na direção de
, mantendo
constante, e vice-versa.
A função é:
Vamos derivar em relação a
:
E em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado
.
Substituindo
e
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto
é:
Resposta
A equação do plano tangente é:
E a equação paramétrica da reta normal é: