Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em (x0, y0).
h) z = raiz(x^2 + y^2) em (3, -4, 5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Lembra que a derivada parcial de em relação a é como se estivéssemos vendo a inclinação da superfície apenas na direção de , mantendo constante, e vice-versa.
A função é:
Vamos derivar em relação a :
E em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado .
Substituindo e :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto é:

Resposta

A equação do plano tangente é:
E a equação paramétrica da reta normal é:

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