Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em .
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal para a função em dois pontos específicos: e . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o plano tangente a uma superfície no ponto , usamos a fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, reescrevemos como .
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 4
Agora, vamos aplicar essas derivadas nos dois pontos dados.
Para o ponto :
Calculamos e :
Agora, usando a fórmula do plano tangente:
Para o ponto :
Calculamos e :
Agora, a equação do plano tangente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a reta normal para cada ponto. A reta normal passa pelo ponto dado e tem direção no vetor gradiente , que é .
Para o ponto :
O vetor gradiente é . Então, a equação paramétrica da reta normal é:
Para o ponto :
O vetor gradiente é . A equação paramétrica da reta normal é: