Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em (x0, y0).
i) f(x, y) = raiz(1 - x^2 - y^2) em (0, 0, 1) e (1/2, 1/2, raiz(2)/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal para a função em dois pontos específicos: e . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o plano tangente a uma superfície no ponto , usamos a fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, reescrevemos como .
  • Derivada em relação a :
  • Derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos aplicar essas derivadas nos dois pontos dados.
Para o ponto :
Calculamos e :
Agora, usando a fórmula do plano tangente:
Para o ponto :
Calculamos e :
Agora, a equação do plano tangente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta normal para cada ponto. A reta normal passa pelo ponto dado e tem direção no vetor gradiente , que é .
Para o ponto :
O vetor gradiente é . Então, a equação paramétrica da reta normal é:
Para o ponto :
O vetor gradiente é . A equação paramétrica da reta normal é:

Resposta

Plano Tangente:
  • No ponto :
  • No ponto :
Reta Normal:
  • No ponto :
  • No ponto :

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