Calcule
onde é a interseção de e .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral tripla
onde a região é definida pela interseção das condições , e .
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, já que as regiões envolvidas possuem simetria que facilita os cálculos nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever as condições que definem em coordenadas esféricas:
  1. se torna , ou seja, .
  2. se torna , então .
  3. se torna , ou seja, , o que implica , ou .

Passo 4

Com essas condições, podemos estabelecer os limites de integração:
  • varia de a (cobrindo toda a volta ao redor do eixo z).
  • varia de a (devido à condição ).
  • Para cada , varia de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
Simplificando, temos:
Integrando em relação a :
Então, a integral fica:
Agora, integrando em relação a :
Calculando:
Finalmente, integrando em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima do triângulo com vértices e .
Determine um fator integrante e resolva a equação
Utilize mudança de variáveis apropriada para calcular
onde é a região do primeiro quadrante contida no círculo .
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas: