Calcule
onde
é a interseção de
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral tripla
onde a região
é definida pela interseção das condições
,
e
.
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, já que as regiões envolvidas possuem simetria que facilita os cálculos nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever as condições que definem
em coordenadas esféricas:
-
se torna , ou seja, . -
se torna , então . -
se torna , ou seja, , o que implica , ou .
Passo 4
Com essas condições, podemos estabelecer os limites de integração:
-
varia de a (cobrindo toda a volta ao redor do eixo z). -
varia de a (devido à condição ). - Para cada
, varia de a .
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
Simplificando, temos:
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Agora, integrando em relação a
:
Calculando:
Finalmente, integrando em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.