Calcule
integral triplaE 1x^2+y^2+z^2 d x d y d z
onde E é a interseção de x^2+y^2+z^2 >= 1, x^2+y^2 <= 4 e z^2 <= x^2+y^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral tripla
integral triplaE 1x^2+y^2+z^2 , dx , dy , dz
onde a região é definida pela interseção das condições , e .
Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, já que as regiões envolvidas possuem simetria que facilita os cálculos nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 3

Agora, vamos reescrever as condições que definem em coordenadas esféricas:
  1. se torna , ou seja, .
  2. se torna , então .
  3. se torna , ou seja, , o que implica , ou .

Passo 4

Com essas condições, podemos estabelecer os limites de integração:
  • varia de a (cobrindo toda a volta ao redor do eixo z).
  • varia de a (devido à condição ).
  • Para cada , varia de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral0^2pi integralpi4^3pi4 integral1^2sinphi 1rho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi integralpi4^3pi4 integral1^2sinphi sinphi , drho , dphi , dtheta
Integrando em relação a integral1^2sinphi sinphi , drho = sinphi [ rho ]1^2sinphi = sinphi ( 2sinphi - 1 ) = 2 - sinphi :
integral0^2pi integralpi4^3pi4 (2 - sinphi) , dphi , dtheta
Então, a integral fica:
integralpi4^3pi4 (2 - sinphi) , dphi = 2( 3pi4 - pi4 ) - [ -cosphi ]pi4^3pi4 = pi - ( -cos3pi4 + cospi4 )
Agora, integrando em relação a pi - ( raiz22 + raiz22 ) = pi - raiz2 :
integral0^2pi (pi - raiz2) , dtheta = (pi - raiz2) cdot 2pi = 2pi^2 - 2pi raiz2
Calculando:
Finalmente, integrando em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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