Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla transformando para coordenadas esféricas. Isso envolve calcular a área dentro de uma esfera (no caso, com raio 3) e usar a matemática das coordenadas esféricas para simplificar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e usar a fórmula do jacobiano para a mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral original:
Essa integral está sendo calculada sobre a região superior de uma esfera de raio 3 (porque vai de 0 até a parte de cima da esfera).

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas ( ) estão relacionadas com as cartesianas por:
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano , e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 4

Também precisamos do jacobiano para a mudança de variável, que em coordenadas esféricas é:
Isso significa que .

Passo 5

Agora, vamos reescrever os limites de integração em coordenadas esféricas. Como estamos lidando com toda a esfera de raio 3, temos:
  • vai de 0 a 3
  • vai de 0 a (já que )
  • vai de 0 a (círculo completo no plano )

Passo 6

Vamos substituir e em termos de coordenadas esféricas:
Então, o integrando original se torna:

Passo 7

Agora, montamos a integral em coordenadas esféricas:
Simplificando, temos:

Passo 8

Vamos integrar em partes. Primeiro, integramos em :

Passo 9

Em seguida, integramos em :
Usando a substituição , então , a integral se torna:

Passo 10

Por último, integramos em :

Resposta

Multiplicando todas as partes integradas:
Então, o valor final da integral é:

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Mostre que, se a e são constantes positivas e b é um número real qualquer, então toda solução da equação
satisfaz quando .
11 - Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
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Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
g)
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a) ,
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo plano , o cilindro e os planos .