Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 z raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla transformando para coordenadas esféricas. Isso envolve calcular a área dentro de uma esfera (no caso, com raio 3) e usar a matemática das coordenadas esféricas para simplificar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e usar a fórmula do jacobiano para a mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral original:
integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 z raizx^2+y^2+z^2 , dz , dy , dx
Essa integral está sendo calculada sobre a região superior de uma esfera de raio 3 (porque vai de 0 até a parte de cima da esfera).

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas ( x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi ) estão relacionadas com as cartesianas por:
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano , e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 4

Também precisamos do jacobiano para a mudança de variável, que em coordenadas esféricas é:
J = r^2 sinphi
Isso significa que .

Passo 5

Agora, vamos reescrever os limites de integração em coordenadas esféricas. Como estamos lidando com toda a esfera de raio 3, temos:
  • vai de 0 a 3
  • vai de 0 a (já que )
  • vai de 0 a (círculo completo no plano )

Passo 6

Vamos substituir r cosphi cdot r = r^2 cosphi e em termos de coordenadas esféricas:
Então, o integrando original se torna:

Passo 7

Agora, montamos a integral em coordenadas esféricas:
integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 r^2 cosphi cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 r^4 cosphi sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 8

Vamos integrar em partes. Primeiro, integramos em integral0^3 r^4 , dr = [ r^55 ]0^3 = 2435 :

Passo 9

Em seguida, integramos em integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi :
integral0^1 u , du = [ u^22 ]0^1 = 12
Usando a substituição , então , a integral se torna:

Passo 10

Por último, integramos em integral0^2pi dtheta = 2pi :

Resposta

Multiplicando todas as partes integradas:
2435 cdot 12 cdot 2pi = 2435 pi
Então, o valor final da integral é:
2435 pi

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