Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla transformando para coordenadas esféricas. Isso envolve calcular a área dentro de uma esfera (no caso, com raio 3) e usar a matemática das coordenadas esféricas para simplificar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e usar a fórmula do jacobiano para a mudança de variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral original:
Essa integral está sendo calculada sobre a região superior de uma esfera de raio 3 (porque
vai de 0 até a parte de cima da esfera).
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas (
) estão relacionadas com as cartesianas
por:
Aqui,
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo no plano
, e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 4
Também precisamos do jacobiano para a mudança de variável, que em coordenadas esféricas é:
Isso significa que
.
Passo 5
Agora, vamos reescrever os limites de integração em coordenadas esféricas. Como estamos lidando com toda a esfera de raio 3, temos:
-
vai de 0 a 3 -
vai de 0 a (já que ) -
vai de 0 a (círculo completo no plano )
Passo 6
Vamos substituir
e
em termos de coordenadas esféricas:
Então, o integrando original
se torna:
Passo 7
Agora, montamos a integral em coordenadas esféricas:
Simplificando, temos:
Passo 8
Vamos integrar em partes. Primeiro, integramos em
:
Passo 9
Em seguida, integramos em
:
Usando a substituição
, então
, a integral se torna:
Passo 10
Por último, integramos em
:
Resposta
Multiplicando todas as partes integradas:
Então, o valor final da integral é:
Exercícios relacionados
Mostre que, se a e
são constantes positivas e b é um número real qualquer, então toda solução da equação
satisfaz
quando
.
11 - Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
11 - Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
a) Resolva a equação de Bernoulli quando quando
. Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.
a) Resolva a equação de Bernoulli quando
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
g)
8 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :
a) ,
g)
8 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
a)
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo plano
, o cilindro
e os planos
.