Mostre que, se a e são constantes positivas e b é um número real qualquer, então toda solução da equação
satisfaz quando .
11 - Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
a) Resolva a equação de Bernoulli quando quando . Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial chamada de Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
O exercício pede para resolver essa equação em dois casos especiais: quando e quando . Em ambos os casos, a equação vira linear, o que facilita muito a solução. Vamos usar métodos de equações diferenciais lineares para resolver cada caso.

Passo 2

Caso 1:
Quando , a equação de Bernoulli fica assim:
Essa é uma equação diferencial linear padrão. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 3

Primeiro, encontramos o fator integrante ( ) que é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por :
A esquerda da equação agora é a derivada de , ou seja:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para :
E essa é a solução geral para o caso .

Passo 7

Caso 2:
Agora, quando , a equação de Bernoulli fica:
Simplificando, temos:
Essa também é uma equação diferencial linear, mas homogênea.

Passo 8

Para resolver, vamos novamente usar o fator integrante. Calculamos:

Passo 9

Multiplicamos a equação por :
Isso vira:

Passo 10

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Finalmente, isolamos :
E essa é a solução geral para o caso .

Resposta

Resolvemos a Equação de Bernoulli para os casos e utilizando o método do fator integrante. As soluções gerais são:
  • Para :
  • Para :
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
g)
8 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :
a) ,
(2,0 pontos) Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
OBS: Lembre que o elemento de volume da integral tripla em coordenadas esféricas é .
Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos