Mostre que, se a e
são constantes positivas e b é um número real qualquer, então toda solução da equação
satisfaz
quando
.
11 - Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
a) Resolva a equação de Bernoulli quando
quando
. Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.
11 - Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
a) Resolva a equação de Bernoulli quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial chamada de Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
O exercício pede para resolver essa equação em dois casos especiais: quando
e quando
. Em ambos os casos, a equação vira linear, o que facilita muito a solução. Vamos usar métodos de equações diferenciais lineares para resolver cada caso.
Passo 2
Caso 1:
Quando
, a equação de Bernoulli fica assim:
Essa é uma equação diferencial linear padrão. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 3
Primeiro, encontramos o fator integrante (
) que é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
A esquerda da equação agora é a derivada de
, ou seja:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
:
E essa é a solução geral para o caso
.
Passo 7
Caso 2:
Agora, quando
, a equação de Bernoulli fica:
Simplificando, temos:
Essa também é uma equação diferencial linear, mas homogênea.
Passo 8
Para resolver, vamos novamente usar o fator integrante. Calculamos:
Passo 9
Multiplicamos a equação por
:
Isso vira:
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Finalmente, isolamos
:
E essa é a solução geral para o caso
.
Resposta
Resolvemos a Equação de Bernoulli para os casos
e
utilizando o método do fator integrante. As soluções gerais são:
-
Para
: -
Para
:
Onde
é a constante de integração.
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Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
g)
8 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :
a) ,
g)
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a)
(2,0 pontos) Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
OBS: Lembre que o elemento de volume da integral tripla em coordenadas esféricas é
.
Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos