Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo plano , o cilindro e os planos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa usar uma integral tripla para achar o volume de um sólido que é limitado pelo plano (que é o plano onde ), pelo cilindro , pelos planos e . Basicamente, vamos calcular o espaço que esse sólido ocupa no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fronteiras em que o sólido está limitado. O plano é onde , então esse será o ponto de baixo do sólido. O cilindro é uma curva parabólica que abre para baixo no plano . O plano é uma reta que vai cruzar a parábola, e o plano será o teto do sólido.

Passo 3

Vamos descobrir a região de integração no plano . Precisamos encontrar os pontos onde as curvas e se cruzam. Igualando as duas equações:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, nosso intervalo para vai de a .

Passo 4

Para cada valor de no intervalo de a , varia de até . Ou seja, os limites para são:

Passo 5

Agora, vamos olhar para a direção . O sólido está limitado inferiormente pelo plano ( ) e superiormente pelo plano . Portanto, varia de a :

Passo 6

Com todas as fronteiras definidas, podemos montar a integral tripla para calcular o volume :

Passo 7

Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integraremos em :
Simplificando:

Passo 9

Vamos multiplicar os termos:
Simplificando mais:

Passo 10

Agora, vamos integrar essa expressão em de a :
Integrando termo a termo:

Passo 11

Vamos calcular nos limites:
Para :
Para :

Passo 12

Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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