Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo plano
, o cilindro
e os planos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa usar uma integral tripla para achar o volume de um sólido que é limitado pelo plano
(que é o plano onde
), pelo cilindro
, pelos planos
e
. Basicamente, vamos calcular o espaço que esse sólido ocupa no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fronteiras em que o sólido está limitado. O plano
é onde
, então esse será o ponto de baixo do sólido. O cilindro
é uma curva parabólica que abre para baixo no plano
. O plano
é uma reta que vai cruzar a parábola, e o plano
será o teto do sólido.
Passo 3
Vamos descobrir a região de integração no plano
. Precisamos encontrar os pontos onde as curvas
e
se cruzam. Igualando as duas equações:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, nosso intervalo para
vai de
a
.
Passo 4
Para cada valor de
no intervalo de
a
,
varia de
até
. Ou seja, os limites para
são:
Passo 5
Agora, vamos olhar para a direção
. O sólido está limitado inferiormente pelo plano
(
) e superiormente pelo plano
. Portanto,
varia de
a
:
Passo 6
Com todas as fronteiras definidas, podemos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integraremos em
:
Simplificando:
Passo 9
Vamos multiplicar os termos:
Simplificando mais:
Passo 10
Agora, vamos integrar essa expressão em
de
a
:
Integrando termo a termo:
Passo 11
Vamos calcular nos limites:
Para :
Para
Para
:
Passo 12
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
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Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
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