Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar uma integral tripla pra encontrar o volume de um sólido. O sólido é limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . A matéria aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. O cilindro parabólico define a forma do sólido na direção do eixo . Os planos e limitam o sólido na direção do eixo , e limita na direção do eixo . Então, nosso sólido está entre e , e entre e .

Passo 3

Agora, vamos configurar os limites de integração. Vamos integrar na ordem . Para isso:
  • varia de a .
  • Para um dado , varia de a .
  • varia de a , porque implica (já que ).

Passo 4

Com os limites definidos, a integral tripla fica assim:
Aqui, estamos integrando primeiro, depois , e por último .

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo:
  1. Integramos de a :
  1. Agora, integramos de a :
  1. Por fim, integramos de a :
Calculando isso:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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