Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar uma integral tripla pra encontrar o volume de um sólido. O sólido é limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
e
. A matéria aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. O cilindro parabólico
define a forma do sólido na direção do eixo
. Os planos
e
limitam o sólido na direção do eixo
, e
limita na direção do eixo
. Então, nosso sólido está entre
e
, e entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar os limites de integração. Vamos integrar na ordem
. Para isso:
-
varia de a . - Para um dado
, varia de a . -
varia de a , porque implica (já que ).
Passo 4
Com os limites definidos, a integral tripla fica assim:
Aqui, estamos integrando
primeiro, depois
, e por último
.
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo:
- Integramos
de a :
- Agora, integramos
de a :
- Por fim, integramos
de a :
Calculando isso:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.