Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
g)
8 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
:
a)
,
g)
8 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação
para
e depois analisar como a solução se comporta quando
tende para o infinito. Para isso, vamos usar o método de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Dividindo toda a equação original por
(já que
):
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Portanto,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Resolvendo a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Portanto,
Passo 7
Resolvendo para
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
:
-
tende a zero porque o numerador oscila entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce sem limite. -
também tende a zero pelos mesmos motivos. -
tende a zero, já que cresce sem limite.
Portanto, todas as partes da solução tendem a zero quando
se aproxima do infinito.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
para
é:
Além disso, quando
, todas as partes da solução tendem a zero, ou seja,
.
Exercícios relacionados
(2,0 pontos) Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
OBS: Lembre que o elemento de volume da integral tripla em coordenadas esféricas é
.
(2,0 pontos) Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está entre os paraboloides
.
Mostre que, se a e
são constantes positivas e b é um número real qualquer, então toda solução da equação
satisfaz
quando
.
11 - Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
11 - Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
a) Resolva a equação de Bernoulli quando quando
. Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.
a) Resolva a equação de Bernoulli quando
Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.