Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
g)
8 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :
a) ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação para e depois analisar como a solução se comporta quando tende para o infinito. Para isso, vamos usar o método de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Dividindo toda a equação original por (já que ):
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral:
Portanto,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Resolvendo a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Portanto,

Passo 7

Resolvendo para :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, vamos analisar o comportamento de quando :
  • tende a zero porque o numerador oscila entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce sem limite.
  • também tende a zero pelos mesmos motivos.
  • tende a zero, já que cresce sem limite.
Portanto, todas as partes da solução tendem a zero quando se aproxima do infinito.

Resposta

A solução geral da equação diferencial para é:
Além disso, quando , todas as partes da solução tendem a zero, ou seja, .

Exercícios relacionados

(2,0 pontos) Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.
OBS: Lembre que o elemento de volume da integral tripla em coordenadas esféricas é .
(2,0 pontos) Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está entre os paraboloides .
Mostre que, se a e são constantes positivas e b é um número real qualquer, então toda solução da equação
satisfaz quando .
11 - Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
a) Resolva a equação de Bernoulli quando quando . Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.
Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas.