Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
g) t^3 y' + 4 t^2 y = e^(-t), y(-1) = 0, t < 0
8 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando t -> infinito :
a) t * y' + 2 * y = sen(t), t > 0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação para e depois analisar como a solução se comporta quando tende para o infinito. Para isso, vamos usar o método de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Dividindo toda a equação original por (já que ):
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral:
Portanto,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Resolvendo a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Portanto,

Passo 7

Resolvendo para :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, vamos analisar o comportamento de quando :
  • tende a zero porque o numerador oscila entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce sem limite.
  • também tende a zero pelos mesmos motivos.
  • tende a zero, já que cresce sem limite.
Portanto, todas as partes da solução tendem a zero quando se aproxima do infinito.

Resposta

A solução geral da equação diferencial para é:
Além disso, quando , todas as partes da solução tendem a zero, ou seja, .

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