Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
(b) integral0^2 integral0^raiz1-y^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 1x^2+y^2+z^2 d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integração em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e usar o Jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. A integral dada é:
integral0^2 integral0^raiz1-y^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 1x^2+y^2+z^2 , dz , dx , dy
Observando os limites de integração:
  • varia de 0 a 2,
  • Para cada , vai de 0 a ,
  • E para cada e , vai de 0 a .
Isso descreve uma parte do primeiro octante (onde ) de uma esfera de raio 1, já que .

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são dadas por:
x = r sin theta cos phi y = r sin theta sin phi z = r cos theta
Onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo polar (entre o vetor posição e o eixo ),
  • é o ângulo azimutal (no plano ).
A integral em coordenadas esféricas também envolve o Jacobiano da transformação, que é .

Passo 4

Vamos reescrever a função e os limites de integração em coordenadas esféricas. A função 1r^2 times r^2 sin theta = sin theta simplifica para em esféricas. Multiplicando pelo Jacobiano, temos:
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração:
  • varia de 0 a 1 (raio da esfera),
  • varia de 0 a (para ficar no primeiro octante),
  • varia de 0 a (também para o primeiro octante).

Passo 5

Agora, a integral em coordenadas esféricas fica:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 sin theta , dr , dtheta , dphi
Vamos resolver passo a passo:
  1. Integral em integral0^1 dr = [r]0^1 = 1 - 0 = 1 :
integral0^pi2 sin theta , dtheta = [-cos theta]0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1
  1. Integral em integral0^pi2 dphi = [ phi ]0^pi2 = pi2 - 0 = pi2 :
  1. Integral em :

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais:
1 times 1 times pi2 = pi2
Portanto, o valor da integral é .

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