Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para calcular a integral tripla:
E para isso, a gente precisa mudar as coordenadas cartesianas pra coordenadas esféricas. Isso porque, às vezes, essa mudança facilita muito na hora de integrar, especialmente quando temos simetria esférica. Então, vamos precisar entender como converter as variáveis de , , e para , , e , que são as coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas:
Também precisamos do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Nossa função a ser integrada é x y = (rho sinphi costheta)(rho sinphi sintheta) = rho^2 sin^2phi costheta sintheta , então vamos substituir e por essas expressões em coordenadas esféricas:
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração. Estamos indo de a , a , e a . Isso define a região de integração no espaço.
Para converter esses limites para coordenadas esféricas, vamos olhar para as desigualdades:
a implica .
a implica .
a implica a .
Isso pode parecer complicado, mas vamos simplificar observando simetrias e limites máximos das coordenadas esféricas.
Passo 4
Vamos entender melhor os limites. Note que vai de 0 até a distância máxima da origem até a superfície definida pelos limites de . Observando , temos que a esfera tem raio .
Além disso, como e variam de 0 a valores positivos, isso indica que nosso intervalo está no primeiro octante, onde varia de 0 a .
Então, resumindo:
varia de 0 a
varia de 0 a
varia de 0 a (porque é positivo)
Passo 5
Agora, montamos a integral em coordenadas esféricas substituindo tudo que sabemos: