Determine as integrais a seguir: integral 2 x cos (x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 2x cos(x^2+1) dx. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integração. Observando a função dentro do cosseno, temos x^2 + 1. Vamos chamar isso de u:
u = x^2 + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, que é du/dx:
dudx = 2x
Isso significa que:
du = 2x , dx

Passo 4

Perfeito! Agora, podemos substituir 2x , dx por du na integral original:
integral 2x cos(x^2+1) dx = integral cos(u) , du

Passo 5

A integral de cos(u) em relação a u é fácil de resolver:
integral cos(u) , du = sin(u) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo u por x^2 + 1:
sin(u) + C = sin(x^2 + 1) + C

Resposta

A integral de 2x cos(x^2+1) dx é:
sin(x^2 + 1) + C

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