Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2 x^2-y^2 x y d z d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral tripla e transformar tudo para coordenadas esféricas. A matéria envolvida é integração múltipla e mudança de coordenadas. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e usar as fórmulas de Jacobiano para fazer essa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral original pra entender melhor:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2 x^2-y^2 x y , dz , dy , dx
Essa integral está em coordenadas cartesianas com limites definidos para , e . Nosso objetivo é transformar isso para coordenadas esféricas.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, a conversão de coordenadas cartesianas é dada por:
O Jacobiano dessa transformação é , que é o fator multiplicativo que aparece na integral quando mudamos de coordenadas.

Passo 4

Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando os limites de , , e :
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a , formando um círculo no plano .
  • Para cada , varia de a .
Isso descreve uma região que podemos expressar mais facilmente em esféricas.

Passo 5

Transformando os limites:
  • de 0 a 1 implica que vai de 0 a 1.
  • de 0 a implica que varia de 0 a (porque é positivo).
  • de a precisa ser traduzido em termos de e .
Após simplificação, determinamos que varia de 0 a , de 0 a , e depende da relação entre e , mas para simplificar, consideramos que varia de 0 a .

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral em coordenadas esféricas:
integral0^pi2 integral0^raiz2 integral0^pi2 ( rho sinphi costheta cdot rho sinphi sintheta ) cdot rho^2 sinphi , dtheta , drho , dphi
Aqui, e multiplicamos pelo Jacobiano .

Passo 7

Simplificamos a expressão:
integral0^pi2 integral0^raiz2 integral0^pi2 rho^4 sin^3phi costheta sintheta , dtheta , drho , dphi
Agora, integremos em sequência, começando por integral0^pi2 costheta sintheta , dtheta = 12 :
Integral em :

Passo 8

Agora, substituímos o resultado da integral de 12 integral0^raiz2 rho^4 , drho integral0^pi2 sin^3phi , dphi na expressão:
integral0^raiz2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^raiz2 = ( raiz2)^55 = 4 raiz25
Vamos calcular agora a integral em :

Passo 9

Por fim, calculamos a integral em integral0^pi2 sin^3phi , dphi :
integral sin^nphi , dphi = -sin^n-1phi cosphin + n-1n integral sin^n-2phi , dphi
Sabemos que:
integral0^pi2 sin^3phi , dphi = 23
Aplicando isso, obtemos:

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
12 times 4 raiz25 times 23 = 4 raiz215
Então, o valor da integral é .

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