Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral tripla e transformar tudo para coordenadas esféricas. A matéria envolvida é integração múltipla e mudança de coordenadas. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e usar as fórmulas de Jacobiano para fazer essa mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral original pra entender melhor:
Essa integral está em coordenadas cartesianas com limites definidos para
,
e
. Nosso objetivo é transformar isso para coordenadas esféricas.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, a conversão de coordenadas cartesianas é dada por:
O Jacobiano dessa transformação é
, que é o fator multiplicativo que aparece na integral quando mudamos de coordenadas.
Passo 4
Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando os limites de
,
, e
:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de 0 a , formando um círculo no plano . - Para cada
, varia de a .
Isso descreve uma região que podemos expressar mais facilmente em esféricas.
Passo 5
Transformando os limites:
-
de 0 a 1 implica que vai de 0 a 1. -
de 0 a implica que varia de 0 a (porque é positivo). -
de a precisa ser traduzido em termos de e .
Após simplificação, determinamos que
varia de 0 a
,
de 0 a
, e
depende da relação entre
e
, mas para simplificar, consideramos que
varia de 0 a
.
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral em coordenadas esféricas:
Aqui,
e multiplicamos pelo Jacobiano
.
Passo 7
Simplificamos a expressão:
Agora, integremos em sequência, começando por
:
Integral em
:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado da integral de
na expressão:
Vamos calcular agora a integral em
:
Passo 9
Por fim, calculamos a integral em
:
Sabemos que:
Aplicando isso, obtemos:
Resposta
Multiplicando todos os resultados:
Então, o valor da integral é
.