Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a cada uma das curvas indicadas nos respectivos pontos dados.
D)
, quando
D)
Passo 1
Beleza! Você quer descobrir as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação dessas retas em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto na curva quando
. Substituindo na equação da curva:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função
em relação a
. Vamos calcular a derivada de
.
Sabemos que:
Aplicando a regra da potência para derivadas:
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Distribuindo e simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente e, portanto, sua inclinação
é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente:
Passo 7
Usando a inclinação
e o ponto
, aplicamos novamente a fórmula da equação da reta:
Distribuindo e simplificando:
Essa é a equação da reta normal.
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é
e a equação da reta normal é
.
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Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas:
.
Encontre a inclinação da reta tangente a cada uma das curvas indicadas nos pontos dados.
D) , quando
D)
Calcule
, para cada uma das funções a seguir
E)
E)
Encontre a inclinação da reta tangente a cada uma das curvas indicadas nos pontos dados.
C) , quando
C)