Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a cada uma das curvas indicadas nos respectivos pontos dados.
D) y = raiz(x), quando x = 1

Passo 1

Beleza! Você quer descobrir as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação dessas retas em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto na curva quando . Substituindo na equação da curva:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função em relação a . Vamos calcular a derivada de .
Sabemos que:
Aplicando a regra da potência para derivadas:

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Distribuindo e simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente e, portanto, sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente:

Passo 7

Usando a inclinação e o ponto , aplicamos novamente a fórmula da equação da reta:
Distribuindo e simplificando:
Essa é a equação da reta normal.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é e a equação da reta normal é .

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