Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o cilindro limitado pelos planos e :

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla dada:
Onde é o cilindro definido por , limitado pelos planos e .
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve cálculo de integrais triplas no espaço tridimensional, utilizando coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução devido à simetria do cilindro.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre coordenadas cilíndricas.
  • Saber converter a integral tripla para coordenadas cilíndricas.
  • Conhecimento básico de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, as relações são:
E o elemento de volume se transforma em:

Passo 3

A equação do cilindro em coordenadas cilíndricas fica:
Portanto, os limites de integração serão:

Passo 4

Substituindo e na função integranda:
Agora, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:

Passo 5

Vamos realizar a integração em relação a primeiro:
Calculando cada termo:
Portanto, a integral em resulta em:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Separando as integrais:
Calculando cada termo:
Portanto, a integral em resulta em:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :
Calculando cada termo:
Somando os resultados:

Resposta

A integral tripla vale .

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