Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o cilindro
limitado pelos planos
e
:
Passo 1
Vamos resolver a integral tripla dada:
Onde
é o cilindro definido por
, limitado pelos planos
e
.
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve cálculo de integrais triplas no espaço tridimensional, utilizando coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução devido à simetria do cilindro.
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre coordenadas cilíndricas.
- Saber converter a integral tripla para coordenadas cilíndricas.
- Conhecimento básico de integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, as relações são:
E o elemento de volume
se transforma em:
Passo 3
A equação do cilindro
em coordenadas cilíndricas fica:
Portanto, os limites de integração serão:
Passo 4
Substituindo
e
na função integranda:
Agora, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 5
Vamos realizar a integração em relação a
primeiro:
Calculando cada termo:
Portanto, a integral em
resulta em:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Separando as integrais:
Calculando cada termo:
Portanto, a integral em
resulta em:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Calculando cada termo:
Somando os resultados:
Resposta
A integral tripla vale
.
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e
.
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onde
.
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, onde