Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o cilindro x^2+y^2=1 limitado pelos planos z=0 e z=2 :
integral duplaE integral(x+y^2-z) d V

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla dada:
integral triplaE (x + y^2 - z) dV
Onde é o cilindro definido por , limitado pelos planos e .
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve cálculo de integrais triplas no espaço tridimensional, utilizando coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução devido à simetria do cilindro.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre coordenadas cilíndricas.
  • Saber converter a integral tripla para coordenadas cilíndricas.
  • Conhecimento básico de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, as relações são:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume dV = r , dr , dtheta , dz se transforma em:

Passo 3

A equação do cilindro r^2 = 1 implies r = 1 em coordenadas cilíndricas fica:
r: 0 a 1, theta: 0 a 2pi, z: 0 a 2
Portanto, os limites de integração serão:

Passo 4

Substituindo x + y^2 - z = r costheta + (r sintheta)^2 - z = r costheta + r^2 sin^2theta - z e integral0^2 integral0^2pi integral0^1 ( r costheta + r^2 sin^2theta - z ) r , dr , dtheta , dz na função integranda:
Agora, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:

Passo 5

Vamos realizar a integração em relação a integral0^1 ( r costheta + r^2 sin^2theta - z ) r , dr = integral0^1 ( r^2 costheta + r^3 sin^2theta - z r ) dr primeiro:
integral0^1 r^2 costheta , dr = costheta [ r^33 ]0^1 = costheta3
Calculando cada termo:
integral0^1 r^3 sin^2theta , dr = sin^2theta [ r^44 ]0^1 = sin^2theta4
integral0^1 -z r , dr = -z [ r^22 ]0^1 = -z2
costheta3 + sin^2theta4 - z2
Portanto, a integral em resulta em:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^2pi ( costheta3 + sin^2theta4 - z2 ) dtheta :
13 integral0^2pi costheta , dtheta + 14 integral0^2pi sin^2theta , dtheta - z2 integral0^2pi dtheta
Separando as integrais:
13 integral0^2pi costheta , dtheta = 13 [ sintheta ]0^2pi = 0
Calculando cada termo:
14 integral0^2pi sin^2theta , dtheta = 14 cdot pi = pi4
- z2 integral0^2pi dtheta = - z2 cdot 2pi = -zpi
pi4 - zpi
Portanto, a integral em resulta em:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a integral0^2 ( pi4 - zpi ) dz = pi4 integral0^2 dz - pi integral0^2 z , dz :
pi4 integral0^2 dz = pi4 cdot 2 = pi2
Calculando cada termo:
- pi integral0^2 z , dz = -pi [ z^22 ]0^2 = -pi cdot 2 = -2pi
pi2 - 2pi = -3pi2
Somando os resultados:

Resposta

A integral tripla vale .

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