Resolva as integrais duplas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo integral, especificamente uma integral dupla. A gente precisa calcular a integral de na região onde varia de 0 a 1 e também varia de 0 a 1. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis, fazendo as integrações uma de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral dupla. Imagine que estamos calculando o volume abaixo da superfície definida pela função sobre o quadrado onde e variam de 0 a 1.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é . Para resolver isso, vamos integrar cada termo separadamente:
Somando esses resultados:

Passo 4

Agora, temos que integrar o resultado obtido em relação a , ou seja, . Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
, então a integral fica
Vamos integrar cada termo:
Somando esses resultados:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos e .
Resolva a integral dupla abaixo, onde é a parte do conjunto que está no primeiro quadrante:
Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o cilindro limitado pelos planos e :
Calcule a integral tripla
onde .