Resolva as integrais duplas: , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla , onde é o conjunto de pontos no plano que satisfazem . Isso significa que estamos integrando a função sobre o círculo de raio 1 centrado na origem. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para lidar com regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano pode ser representado por , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo x. As relações são:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando, , em coordenadas polares. Substituindo as expressões de e , temos:
Já que .

Passo 4

O próximo passo é transformar o elemento de área para coordenadas polares. Em coordenadas cartesianas, , mas em coordenadas polares, o elemento de área vira:
Isso acontece porque estamos basicamente “esticando” o elemento de área no círculo.

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Como estamos integrando sobre o círculo de raio 1:
  • varia de a
  • varia de a (uma volta completa ao redor do círculo)

Passo 6

Agora, montamos a integral em coordenadas polares com tudo que definimos:

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcule a integral tripla
onde .
Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o cilindro limitado pelos planos e :
Resolva a integral dupla abaixo, onde é região delimitada pelo triângulo formado pelos pontos e :
Resolva a integral dupla abaixo, onde é a região do primeiro quadrante formada pelas duas circunferências e