Resolva as integrais duplas: integralD integral(x^2+y^2) d A, onde D=(x, y) in Re^2 mid x^2+y^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integralD (x^2+y^2) , dA, onde D é o conjunto de pontos (x, y) no plano que satisfazem x^2+y^2 <= 1. Isso significa que estamos integrando a função x^2 + y^2 sobre o círculo de raio 1 centrado na origem. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para lidar com regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto (x, y) no plano pode ser representado por (r, theta), onde r é a distância do ponto até a origem e theta é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo x. As relações são:
x = r costheta e y = r sintheta

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando, x^2 + y^2, em coordenadas polares. Substituindo as expressões de x e y, temos:
x^2 + y^2 = (r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r^2
Já que cos^2theta + sin^2theta = 1.

Passo 4

O próximo passo é transformar o elemento de área dA para coordenadas polares. Em coordenadas cartesianas, dA = dx , dy, mas em coordenadas polares, o elemento de área vira:
dA = r , dr , dtheta
Isso acontece porque estamos basicamente “esticando” o elemento de área no círculo.

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Como estamos integrando sobre o círculo de raio 1:
  • r varia de 0 a 1
  • theta varia de 0 a 2pi (uma volta completa ao redor do círculo)

Passo 6

Agora, montamos a integral em coordenadas polares com tudo que definimos:
integralD (x^2+y^2) , dA = integral0^2pi integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 1^44 - 0^44 = 14
Agora, integramos o resultado em relação a theta:
integral0^2pi 14 , dtheta = 14 [ theta ]0^2pi = 14 (2pi - 0) = pi2

Resposta

O valor da integral dupla é dfracpi2.

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