Resolva as integrais duplas:
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
, onde
é o conjunto de pontos
no plano que satisfazem
. Isso significa que estamos integrando a função
sobre o círculo de raio 1 centrado na origem. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para lidar com regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto
no plano pode ser representado por
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo x. As relações são:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando,
, em coordenadas polares. Substituindo as expressões de
e
, temos:
Já que
.
Passo 4
O próximo passo é transformar o elemento de área
para coordenadas polares. Em coordenadas cartesianas,
, mas em coordenadas polares, o elemento de área vira:
Isso acontece porque estamos basicamente “esticando” o elemento de área no círculo.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Como estamos integrando sobre o círculo de raio 1:
-
varia de a -
varia de a (uma volta completa ao redor do círculo)
Passo 6
Agora, montamos a integral em coordenadas polares com tudo que definimos:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla
onde
.
Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o cilindro
limitado pelos planos
e
:
Resolva a integral dupla abaixo, onde
é região delimitada pelo triângulo formado pelos pontos
e
:
Resolva a integral dupla abaixo, onde
é a região do primeiro quadrante formada pelas duas circunferências
e