Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos x=0, y=0, z=0 e 3 x+y+z=3.
integral duplaE integral 6 z^5 d V

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A questão pede para calcular a integral tripla de sobre o tetraedro , que é delimitado pelos planos , , e . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integração tripla, pra achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região onde vamos integrar. O tetraedro é formado pelos planos dados, então vamos encontrar os limites de integração para , e .

Passo 3

Vamos resolver a equação do plano z = 3 - 3x - y para 0 <= z <= 3 - 3x - y :
Isso nos dá o limite superior para . Como está entre e , temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os limites para 3x + y = 3 Rightarrow y = 3 - 3x . Observando a equação do plano, para 0 <= y <= 3 - 3x :
Então, varia de a :

Passo 5

Por último, determinamos os limites para 3x = 3 Rightarrow x = 1 . Quando 0 <= x <= 1 e :
Então, varia de a :

Passo 6

Agora que temos todos os limites, configuramos a integral tripla:
integral0^1 integral0^3 - 3x integral0^3 - 3x - y 6 z^5 , dz , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral com relação a integral0^3 - 3x - y 6 z^5 , dz = 6 cdot [ z^66 ]0^3 - 3x - y = (3 - 3x - y)^6 primeiro:

Passo 8

Agora, integramos com relação a integral0^3 - 3x (3 - 3x - y)^6 , dy :
integral0^3 - 3x u^6 , du = [ u^77 ]0^3 - 3x = (3 - 3x)^77
Fazendo a substituição , , os limites ficam de a :

Passo 9

Por fim, integramos com relação a integral0^1 (3 - 3x)^77 , dx = 3^77 integral0^1 (1 - x)^7 , dx :
3^77 cdot [ (1 - x)^8-8 ]0^1 = 3^756
Resolvendo essa última integral:

Resposta

A integral tripla vale .

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