Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A questão pede para calcular a integral tripla de sobre o tetraedro , que é delimitado pelos planos , , e . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integração tripla, pra achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região onde vamos integrar. O tetraedro é formado pelos planos dados, então vamos encontrar os limites de integração para , e .

Passo 3

Vamos resolver a equação do plano para :
Isso nos dá o limite superior para . Como está entre e , temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os limites para . Observando a equação do plano, para :
Então, varia de a :

Passo 5

Por último, determinamos os limites para . Quando e :
Então, varia de a :

Passo 6

Agora que temos todos os limites, configuramos a integral tripla:

Passo 7

Vamos resolver a integral com relação a primeiro:

Passo 8

Agora, integramos com relação a :
Fazendo a substituição , , os limites ficam de a :

Passo 9

Por fim, integramos com relação a :
Resolvendo essa última integral:

Resposta

A integral tripla vale .

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Resolva a integral dupla abaixo, onde é a parte do conjunto que está no primeiro quadrante:
Calcule a integral tripla abaixo, onde é o sólido delimitado pelo plano e pela semiesfera .
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Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o cilindro limitado pelos planos e :