Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A questão pede para calcular a integral tripla de
sobre o tetraedro
, que é delimitado pelos planos
,
,
e
. Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integração tripla, pra achar a resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região
onde vamos integrar. O tetraedro é formado pelos planos dados, então vamos encontrar os limites de integração para
,
e
.
Passo 3
Vamos resolver a equação do plano
para
:
Isso nos dá o limite superior para
. Como
está entre
e
, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os limites para
. Observando a equação do plano, para
:
Então,
varia de
a
:
Passo 5
Por último, determinamos os limites para
. Quando
e
:
Então,
varia de
a
:
Passo 6
Agora que temos todos os limites, configuramos a integral tripla:
Passo 7
Vamos resolver a integral com relação a
primeiro:
Passo 8
Agora, integramos com relação a
:
Fazendo a substituição
,
, os limites ficam de
a
:
Passo 9
Por fim, integramos com relação a
:
Resolvendo essa última integral:
Resposta
A integral tripla vale
.
Exercícios relacionados
Resolva a integral dupla abaixo, onde
é a parte do conjunto
que está no primeiro quadrante:
Calcule a integral tripla abaixo, onde
é o sólido delimitado pelo plano
e pela semiesfera
.
Resolva as integrais duplas:
Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o cilindro
limitado pelos planos
e
: