Calcule a integral tripla
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O enunciado pede para calcular a integral de
sobre a região
, que é definida por
.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas e análise de simetria.
O que vamos precisar: Entender como configurar a integral tripla, identificar os limites de integração e aproveitar a simetria da região para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Temos que
está entre duas superfícies:
- Superfície inferior:
- Superfície superior:
Para visualizar, a superfície inferior é um paraboloide que se abre para cima, e a superior é um paraboloide que se abre para baixo. A região
é o espaço entre essas duas superfícies.
Passo 3
Agora, vamos analisar o integrando
. Notamos que o termo
é ímpar em relação a
e a
, o que significa que se refletirmos sobre o eixo
ou
, o sinal do termo muda.
Como a região
é simétrica em relação aos eixos
e
(pois é definida apenas por
), isso implica que para cada ponto
em
, o ponto
e
também estão em
.
Passo 4
Devido à simetria mencionada, quando integrarmos uma função ímpar como
sobre uma região simétrica em
e
, as contribuições positivas e negativas vão se cancelar.
Ou seja:
Resposta
A integral tripla vale
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o cilindro
limitado pelos planos
e
:
Resolva as integrais duplas:
Resolva as integrais duplas:
, onde
Resolva a integral dupla abaixo, onde
é região delimitada pelo triângulo formado pelos pontos
e
: