Calcule a integral tripla
onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região , que é definida por .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas e análise de simetria.
O que vamos precisar: Entender como configurar a integral tripla, identificar os limites de integração e aproveitar a simetria da região para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Temos que está entre duas superfícies:
  1. Superfície inferior:
  2. Superfície superior:
Para visualizar, a superfície inferior é um paraboloide que se abre para cima, e a superior é um paraboloide que se abre para baixo. A região é o espaço entre essas duas superfícies.

Passo 3

Agora, vamos analisar o integrando . Notamos que o termo é ímpar em relação a e a , o que significa que se refletirmos sobre o eixo ou , o sinal do termo muda.
Como a região é simétrica em relação aos eixos e (pois é definida apenas por ), isso implica que para cada ponto em , o ponto e também estão em .

Passo 4

Devido à simetria mencionada, quando integrarmos uma função ímpar como sobre uma região simétrica em e , as contribuições positivas e negativas vão se cancelar.
Ou seja:

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados

Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o cilindro limitado pelos planos e :
Resolva as integrais duplas:
Resolva as integrais duplas: , onde
Resolva a integral dupla abaixo, onde é região delimitada pelo triângulo formado pelos pontos e :