Calcule a integral tripla abaixo, onde é o sólido delimitado pelo plano e pela semiesfera .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral de sobre o sólido , que é limitado pelo plano e pela semiesfera . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, e escolher o sistema de coordenadas mais adequado para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sólido . Ele está abaixo da semiesfera e acima do plano . Essa semiesfera tem raio 2, já que . Como a equação envolve , fica natural pensar em coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração em volumes circulares.

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas são , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a altura.
A relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • Para , como a semiesfera tem raio 2, varia de 0 a 2.
  • Para , como estamos cobrindo toda a circunferência, varia de 0 a .
  • Para , para cada , varia do plano até a semiesfera .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla na forma de coordenadas cilíndricas:

Passo 6

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em , depois em e por último em .
Integrando em :

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em :

Passo 8

Por fim, integramos em :

Resposta

A integral tripla vale .

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