Calcule a integral tripla abaixo, onde
é o sólido delimitado pelo plano
e pela semiesfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral de
sobre o sólido
, que é limitado pelo plano
e pela semiesfera
. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, e escolher o sistema de coordenadas mais adequado para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sólido
. Ele está abaixo da semiesfera
e acima do plano
. Essa semiesfera tem raio 2, já que
. Como a equação envolve
, fica natural pensar em coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração em volumes circulares.
Passo 3
Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas são
, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a altura.
A relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração:
- Para
, como a semiesfera tem raio 2, varia de 0 a 2. - Para
, como estamos cobrindo toda a circunferência, varia de 0 a . - Para
, para cada , varia do plano até a semiesfera .
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla na forma de coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em
, depois em
e por último em
.
Integrando em
:
Passo 7
Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em
:
Passo 8
Por fim, integramos em
:
Resposta
A integral tripla vale
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos
e
.
Resolva as integrais duplas:
, onde
Resolva a integral dupla abaixo, onde
é a parte do conjunto
que está no primeiro quadrante:
Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos
e
.