Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o sólido delimitado pelo plano z=0 e pela semiesfera z=raiz4-x^2-y^2.
integral duplaE integral z d V

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral de sobre o sólido , que é limitado pelo plano e pela semiesfera . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, e escolher o sistema de coordenadas mais adequado para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sólido . Ele está abaixo da semiesfera e acima do plano . Essa semiesfera tem raio 2, já que . Como a equação envolve , fica natural pensar em coordenadas cilíndricas, que facilitam a integração em volumes circulares.

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas são x = r cos theta, y = r sin theta, z = z , onde:
  • dV = r, dz, dr, dtheta é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a altura.
A relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  • Para , como a semiesfera tem raio 2, varia de 0 a 2.
  • Para , como estamos cobrindo toda a circunferência, varia de 0 a .
  • Para , para cada , varia do plano até a semiesfera .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla na forma de coordenadas cilíndricas:
integral triplaE z, dV = integral0^2pi integral0^2 integral0^raiz4 - r^2 z cdot r, dz, dr, dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em integral0^raiz4 - r^2 z cdot r, dz = r [ z^22 ]0^raiz4 - r^2 = r cdot (4 - r^2)2 = r(4 - r^2)2 , depois em e por último em .
Integrando em :

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na integral e integramos em integral0^2 r(4 - r^2)2, dr = 12 integral0^2 (4r - r^3), dr = 12 [ 2r^2 - r^44 ]0^2 = 12 ( 8 - 4 ) = 42 = 2 :

Passo 8

Por fim, integramos em integral0^2pi 2, dtheta = 2 cdot 2pi = 4pi :

Resposta

A integral tripla vale .

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