Resolva as integrais duplas: integralD integral 2raizx^2+y^2+1 d A, onde D=(x, y) in Re^2 mid x^2+y^2 <= 9

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos resolver a integral dupla:
integralD 2raizx^2+y^2+1 , dA,
onde a região D é definida por x^2+y^2 <= 9. Isso significa que D é um círculo com raio 3 no plano xy. Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares, pois a região é circular e isso simplifica os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • dA = r , dr , dtheta
Além disso, x^2+y^2 = r^2. Então, a função dentro da integral fica:
2raizr^2 + 1

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração em coordenadas polares:
  • r varia de 0 a 3 (já que o raio do círculo D é 3)
  • theta varia de 0 a 2pi (uma volta completa ao redor do círculo)
Com isso, a integral dupla fica:
integral0^2pi integral0^3 2raizr^2 + 1 cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a r primeiro:
integral0^3 2rraizr^2 + 1 , dr
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = r^2 + 1, então du = 2r , dr. A integral fica:
integral 1raizu , du = 2raizu + C
Voltando para r, temos:
2raizr^2 + 1
Aplicando os limites de 0 a 3:
2raiz9 + 1 - 2raiz0 + 1 = 2raiz10 - 2

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^2pi (2raiz10 - 2) , dtheta = (2raiz10 - 2) cdot 2pi = 4piraiz10 - 4pi

Resposta

O valor da integral dupla é:
4pi (raiz10 - 1)

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