Resolva as integrais duplas:
, onde
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos resolver a integral dupla:
onde a região
é definida por
. Isso significa que
é um círculo com raio 3 no plano xy. Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares, pois a região é circular e isso simplifica os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso,
. Então, a função dentro da integral fica:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração em coordenadas polares:
-
varia de 0 a 3 (já que o raio do círculo é 3) -
varia de 0 a (uma volta completa ao redor do círculo)
Com isso, a integral dupla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. A integral fica:
Voltando para
, temos:
Aplicando os limites de 0 a 3:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é:
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Seja
a parte do sólido delimitado pelo cone circular
e pela semiesfera
que está no primeiro octante. Encontre o valor da constante
de tal forma que a equação abaixo seja verdadeira:
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido compreendido entre os parabolóides
e
.
Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos
e
.
Calcule a integral tripla abaixo, onde
é o sólido delimitado pelo plano
e pela semiesfera
.