Resolva as integrais duplas: , onde

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos resolver a integral dupla:
onde a região é definida por . Isso significa que é um círculo com raio 3 no plano xy. Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares, pois a região é circular e isso simplifica os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, . Então, a função dentro da integral fica:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração em coordenadas polares:
  • varia de 0 a 3 (já que o raio do círculo é 3)
  • varia de 0 a (uma volta completa ao redor do círculo)
Com isso, a integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então . A integral fica:
Voltando para , temos:
Aplicando os limites de 0 a 3:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é:

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Seja a parte do sólido delimitado pelo cone circular e pela semiesfera que está no primeiro octante. Encontre o valor da constante de tal forma que a equação abaixo seja verdadeira:
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido compreendido entre os parabolóides e .
Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos e .
Calcule a integral tripla abaixo, onde é o sólido delimitado pelo plano e pela semiesfera .