Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos x=0, y=0, z=0 e 6 x+2 y+z=6.
integral duplaE integral z(3-3 x-y)^2 d V

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral tripla. A região em que vamos integrar é um tetraedro, que é como um pirâmide com quatro faces. Os planos que delimitam esse tetraedro são , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada variável e como lidar com a função que estamos integrando, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para z = 6 - 6x - 2y , e . O tetraedro está limitado pelos planos , , e . Vamos resolver essa equação para para facilitar:
Isso significa que varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para 0 = 6 - 6x - 2y implies 2y = 6 - 6x implies y = 3 - 3x . Olhando para a equação , quando :
Então, varia de 0 até .

Passo 4

Por fim, vamos encontrar os limites para 0 = 6 - 6x - 0 implies x = 1 . Quando e :
Então, varia de 0 até 1.

Passo 5

Agora que temos todos os limites, podemos escrever a integral tripla:
integral0^1 integral0^3 - 3x integral0^6 - 6x - 2y z(3 - 3x - y)^2 , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em relação a .

Passo 6

Integrando em relação a integral0^6 - 6x - 2y z(3 - 3x - y)^2 , dz = 1(3 - 3x - y)^2 integral0^6 - 6x - 2y z , dz :
1(3 - 3x - y)^2 [ (6 - 6x - 2y)^22 - 0 ] = (6 - 6x - 2y)^22(3 - 3x - y)^2
A integral de em relação a é , então:

Passo 7

Agora, simplificamos a expressão. Observamos que:
6 - 6x - 2y = 2(3 - 3x - y)
Substituindo na expressão anterior:
(2(3 - 3x - y))^22(3 - 3x - y)^2 = 4(3 - 3x - y)^22(3 - 3x - y)^2 = 42 = 2
Então, a integral agora fica:
integral0^1 integral0^3 - 3x 2 , dy , dx

Passo 8

Vamos integrar em relação a integral0^3 - 3x 2 , dy = 2y |0^3 - 3x = 2(3 - 3x) - 0 = 6 - 6x :
integral0^1 (6 - 6x) , dx
Agora, a integral reduz para:

Passo 9

Integrando em relação a integral0^1 (6 - 6x) , dx = 6x - 3x^2 |0^1 = (6(1) - 3(1)^2) - 0 = 6 - 3 = 3 :

Resposta

O valor da integral tripla é 3.

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