Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral tripla. A região em que vamos integrar é um tetraedro, que é como um pirâmide com quatro faces. Os planos que delimitam esse tetraedro são , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada variável e como lidar com a função que estamos integrando, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para , e . O tetraedro está limitado pelos planos , , e . Vamos resolver essa equação para para facilitar:
Isso significa que varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para . Olhando para a equação , quando :
Então, varia de 0 até .

Passo 4

Por fim, vamos encontrar os limites para . Quando e :
Então, varia de 0 até 1.

Passo 5

Agora que temos todos os limites, podemos escrever a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em relação a .

Passo 6

Integrando em relação a :
A integral de em relação a é , então:

Passo 7

Agora, simplificamos a expressão. Observamos que:
Substituindo na expressão anterior:
Então, a integral agora fica:

Passo 8

Vamos integrar em relação a :
Agora, a integral reduz para:

Passo 9

Integrando em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é 3.

Exercícios relacionados

Resolva as integrais duplas: , onde
Seja a parte do sólido delimitado pelo cone circular e pela semiesfera que está no primeiro octante. Encontre o valor da constante de tal forma que a equação abaixo seja verdadeira:
Calcule a integral tripla abaixo, onde é o sólido delimitado pelo plano e pela semiesfera .
Resolva a integral dupla abaixo, onde é a parte do conjunto que está no primeiro quadrante: