Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral tripla. A região em que vamos integrar é um tetraedro, que é como um pirâmide com quatro faces. Os planos que delimitam esse tetraedro são , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para cada variável e como lidar com a função que estamos integrando, que é .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para , e . O tetraedro está limitado pelos planos , , e . Vamos resolver essa equação para para facilitar:
Isso significa que varia de 0 até .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para . Olhando para a equação , quando :
Então, varia de 0 até .
Passo 4
Por fim, vamos encontrar os limites para . Quando e :
Então, varia de 0 até 1.
Passo 5
Agora que temos todos os limites, podemos escrever a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em relação a .
Passo 6
Integrando em relação a :
A integral de em relação a é , então:
Passo 7
Agora, simplificamos a expressão. Observamos que:
Substituindo na expressão anterior:
Então, a integral agora fica:
Passo 8
Vamos integrar em relação a :
Agora, a integral reduz para:
Passo 9
Integrando em relação a integral0^1 (6 - 6x) , dx = 6x - 3x^2 |0^1 = (6(1) - 3(1)^2) - 0 = 6 - 3 = 3 :