Resolva a integral dupla abaixo, onde é a parte do conjunto que está no primeiro quadrante:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região , que é a parte do círculo que está no primeiro quadrante. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . O conjunto representa um círculo de raio 2 centrado na origem. Como queremos apenas a parte que está no primeiro quadrante, estamos olhando para um quarto desse círculo, onde e .

Passo 3

Para facilitar a integração, é melhor mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , e o elemento de área vira . Além disso, os limites para vão de 0 a 2 (raio do círculo) e para vão de 0 a (primeiro quadrante).

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral dada em coordenadas polares:

Passo 5

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, integramos com relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Resolva as integrais duplas: