Resolva a integral dupla abaixo, onde
é a parte do conjunto
que está no primeiro quadrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
sobre a região
, que é a parte do círculo
que está no primeiro quadrante. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. O conjunto
representa um círculo de raio 2 centrado na origem. Como queremos apenas a parte que está no primeiro quadrante, estamos olhando para um quarto desse círculo, onde
e
.
Passo 3
Para facilitar a integração, é melhor mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
vira
. Além disso, os limites para
vão de 0 a 2 (raio do círculo) e para
vão de 0 a
(primeiro quadrante).
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral dada em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos com relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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Calcule a integral tripla abaixo, onde
é o sólido delimitado pelo plano
e pela semiesfera
.
Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos
e
.
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e
.
Resolva as integrais duplas: