Resolva a integral dupla abaixo, onde D é a parte do conjunto (x, y) in Re^2 mid x^2+y^2 <= 4 que está no primeiro quadrante:
integralD integral x d A

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região , que é a parte do círculo que está no primeiro quadrante. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . O conjunto representa um círculo de raio 2 centrado na origem. Como queremos apenas a parte que está no primeiro quadrante, estamos olhando para um quarto desse círculo, onde e .

Passo 3

Para facilitar a integração, é melhor mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , e o elemento de área vira . Além disso, os limites para vão de 0 a 2 (raio do círculo) e para vão de 0 a (primeiro quadrante).

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral dada em coordenadas polares:
integral0^pi2 integral0^2 (r costheta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^2 r^2 costheta , dr , dtheta

Passo 5

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a integral0^2 r^2 costheta , dr = costheta integral0^2 r^2 , dr = costheta [ r^33 ]0^2 = costheta ( 83 ) = 83 costheta :

Passo 6

Agora, integramos com relação a integral0^pi2 83 costheta , dtheta = 83 integral0^pi2 costheta , dtheta = 83 [ sintheta ]0^pi2 = 83 (1 - 0) = 83 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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