Seja E a parte do sólido delimitado pelo cone circular z=raiz3 x^2+3 y^2 e pela semiesfera z=13 raiz1-9 x^2-9 y^2 que está no primeiro octante. Encontre o valor da constante k de tal forma que a equação abaixo seja verdadeira:
integral duplaE integral k x y zraizx^2+y^2+z^2 d V=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da constante que faz a equação da integral tripla ser igual a 1. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais em coordenadas esféricas, já que estamos lidando com superfícies como cones e semiesferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a região que estamos integrando. Ela está limitada por um cone circular dado por e por uma semiesfera , e tudo isso está no primeiro octante (onde , e são positivos). Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde , e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para raiz3x^2 + 3y^2 = 13 raiz1 - 9x^2 - 9y^2 , e . No primeiro octante, vai de 0 a . A partir das equações do cone e da semiesfera, podemos encontrar os limites para e . Vamos igualar as duas expressões de para encontrar onde elas se interceptam:
Resolvendo essa equação, encontramos o valor de correspondente.

Passo 4

Em coordenadas esféricas, o volume elementar k (rho sinphi costheta)(rho sinphi sintheta)(rho cosphi)rho = k rho^2 sin^2phi costheta sintheta cosphi é dado por . Também precisamos expressar o integrando em coordenadas esféricas. Substituindo , e pelas expressões em termos de , e , ficamos com:

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla:
integral triplaE kxyzraizx^2 + y^2 + z^2 , dV = k integral0^pi2 integral0^phi0 integral0^rhomax(phi) rho^2 sin^2phi costheta sintheta cosphi , drho , dphi , dtheta
Onde e são determinados pelos limites da região . Integramos passo a passo, primeiro em relação a , depois e por fim .

Passo 6

Depois de calcular a integral, igualamos o resultado a 1:
k times (resu
Resolvendo para , encontramos o valor necessário que satisfaz a equação dada.

Resposta

Após realizar os cálculos, encontramos que .

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