Seja
a parte do sólido delimitado pelo cone circular
e pela semiesfera
que está no primeiro octante. Encontre o valor da constante
de tal forma que a equação abaixo seja verdadeira:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da constante
que faz a equação da integral tripla ser igual a 1. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais em coordenadas esféricas, já que estamos lidando com superfícies como cones e semiesferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a região
que estamos integrando. Ela está limitada por um cone circular dado por
e por uma semiesfera
, e tudo isso está no primeiro octante (onde
,
e
são positivos). Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
,
e
. No primeiro octante,
vai de 0 a
. A partir das equações do cone e da semiesfera, podemos encontrar os limites para
e
. Vamos igualar as duas expressões de
para encontrar onde elas se interceptam:
Resolvendo essa equação, encontramos o valor de
correspondente.
Passo 4
Em coordenadas esféricas, o volume elementar
é dado por
. Também precisamos expressar o integrando
em coordenadas esféricas. Substituindo
,
e
pelas expressões em termos de
,
e
, ficamos com:
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla:
Onde
e
são determinados pelos limites da região
. Integramos passo a passo, primeiro em relação a
, depois
e por fim
.
Passo 6
Depois de calcular a integral, igualamos o resultado a 1:
Resolvendo para
, encontramos o valor necessário que satisfaz a equação dada.
Resposta
Após realizar os cálculos, encontramos que
.
Exercícios relacionados
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido compreendido entre os parabolóides
e
.
Resolva as integrais triplas:
Resolva as integrais duplas:
, onde
Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos
e
.