Seja a parte do sólido delimitado pelo cone circular e pela semiesfera que está no primeiro octante. Encontre o valor da constante de tal forma que a equação abaixo seja verdadeira:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da constante que faz a equação da integral tripla ser igual a 1. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais em coordenadas esféricas, já que estamos lidando com superfícies como cones e semiesferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a região que estamos integrando. Ela está limitada por um cone circular dado por e por uma semiesfera , e tudo isso está no primeiro octante (onde , e são positivos). Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde , e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para , e . No primeiro octante, vai de 0 a . A partir das equações do cone e da semiesfera, podemos encontrar os limites para e . Vamos igualar as duas expressões de para encontrar onde elas se interceptam:
Resolvendo essa equação, encontramos o valor de correspondente.

Passo 4

Em coordenadas esféricas, o volume elementar é dado por . Também precisamos expressar o integrando em coordenadas esféricas. Substituindo , e pelas expressões em termos de , e , ficamos com:

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla:
Onde e são determinados pelos limites da região . Integramos passo a passo, primeiro em relação a , depois e por fim .

Passo 6

Depois de calcular a integral, igualamos o resultado a 1:
Resolvendo para , encontramos o valor necessário que satisfaz a equação dada.

Resposta

Após realizar os cálculos, encontramos que .

Exercícios relacionados

Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido compreendido entre os parabolóides e .
Resolva as integrais triplas:
Resolva as integrais duplas: , onde
Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos e .