Calcule a integral tripla de
no conjunto
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular uma integral tripla. A função que vamos integrar é
e o conjunto
onde vamos fazer a integral é definido por duas condições:
Vamos precisar entender um pouco de geometria analítica e cálculo de integrais múltiplas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o conjunto
. A primeira condição define uma elipsoide centrada no ponto
. A segunda condição impõe que
seja maior ou igual a uma função que depende de
e
. Isso basicamente está cortando a elipsoide por um plano inclinado, criando uma região específica dentro da elipsoide.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos fazer uma mudança de coordenadas que centraliza a elipsoide na origem. Vamos definir:
Com essa substituição, a elipsoide fica:
E a segunda condi�o fica:
Então, nossa integral tripla agora será em termos de
.
Passo 4
Vamos também calcular o volume da elipsoide para entender melhor a região
. A equação da elipsoide padrão é:
No nosso caso,
,
,
. Mas como a nossa elipsoide está igualada a 5, precisamos ajustar isso.
Passo 5
Para simplificar, vamos fazer uma outra mudança de coordenadas para transformar a elipsoide em uma esfera. Definimos:
Com isso, a equação da elipsoide fica:
Agora, temos uma esfera de raio 1, o que facilita o uso de coordenadas esféricas para a integração.
Passo 6
A função que vamos integrar também precisa ser ajustada para as novas coordenadas:
Em termos de
:
Então, nossa função na nova coordenada é
.
Passo 7
Vamos então configurar a integral tripla em coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são dadas por:
O Jacobiano para a transformação é
.
Passo 8
Agora, definimos os limites de integração. Como estamos dentro de uma esfera de raio 1,
vai de 0 a 1. O ângulo
vai de 0 a
e
vai de 0 a
. Porém, devido à segunda condição
, precisamos ajustar o limite de
.
Passo 9
A condição
em coordenadas esféricas se traduz em:
Simplificando, obtemos uma relação que nos dará os limites de
. Isso determinará o ângulo até onde vamos integrar.
Passo 10
Após simplificar e resolver a inequação, encontramos que
vai de 0 até um certo ângulo
que satisfaz a igualdade. Esse
define a superfície que corta a esfera.
Passo 11
Finalmente, montamos a integral tripla:
Onde
é o limite superior para
obtido na condição anterior.
Resposta
A integral tripla calculada resulta em
.
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(e) Usando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de
. Use o quadriculado no verso da prova.
(e)
Calcule a integral tripla da função
na pirâmide de vértices
.
Considere a transformação
de
em
dada por
e
. Desenhe
a) sendo a reta
.
b) sendo o quadrado
.
a) sendo
b) sendo