Calcule a integral tripla de no conjunto e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular uma integral tripla. A função que vamos integrar é e o conjunto onde vamos fazer a integral é definido por duas condições:
Vamos precisar entender um pouco de geometria analítica e cálculo de integrais múltiplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o conjunto . A primeira condição define uma elipsoide centrada no ponto . A segunda condição impõe que seja maior ou igual a uma função que depende de e . Isso basicamente está cortando a elipsoide por um plano inclinado, criando uma região específica dentro da elipsoide.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos fazer uma mudança de coordenadas que centraliza a elipsoide na origem. Vamos definir:
Com essa substituição, a elipsoide fica:
E a segunda condi�o fica:
Então, nossa integral tripla agora será em termos de .

Passo 4

Vamos também calcular o volume da elipsoide para entender melhor a região . A equação da elipsoide padrão é:
No nosso caso, , , . Mas como a nossa elipsoide está igualada a 5, precisamos ajustar isso.

Passo 5

Para simplificar, vamos fazer uma outra mudança de coordenadas para transformar a elipsoide em uma esfera. Definimos:
Com isso, a equação da elipsoide fica:
Agora, temos uma esfera de raio 1, o que facilita o uso de coordenadas esféricas para a integração.

Passo 6

A função que vamos integrar também precisa ser ajustada para as novas coordenadas:
Em termos de :
Então, nossa função na nova coordenada é .

Passo 7

Vamos então configurar a integral tripla em coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são dadas por:
O Jacobiano para a transformação é .

Passo 8

Agora, definimos os limites de integração. Como estamos dentro de uma esfera de raio 1, vai de 0 a 1. O ângulo vai de 0 a e vai de 0 a . Porém, devido à segunda condição , precisamos ajustar o limite de .

Passo 9

A condição em coordenadas esféricas se traduz em:
Simplificando, obtemos uma relação que nos dará os limites de . Isso determinará o ângulo até onde vamos integrar.

Passo 10

Após simplificar e resolver a inequação, encontramos que vai de 0 até um certo ângulo que satisfaz a igualdade. Esse define a superfície que corta a esfera.

Passo 11

Finalmente, montamos a integral tripla:
Onde é o limite superior para obtido na condição anterior.

Resposta

A integral tripla calculada resulta em .

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© (1,0 pt) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento e os pontos extremos de .
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(e) Usando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de . Use o quadriculado no verso da prova.
Calcule a integral tripla da função
na pirâmide de vértices .
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a) sendo a reta .
b) sendo o quadrado .