Considere a transformação phi de R^2 em R^2 dada por x = u + v e y = u - v. Desenhe phi(B)
a) sendo B a reta v = 0.
b) sendo B o quadrado 0 <= u <= 1, 0 <= v <= 1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos uma transformação que pega pontos de e os transforma em outros pontos de usando as equações:
O exercício quer que a gente desenhe a imagem dessa transformação para dois conjuntos :
a) Quando é a reta .
b) Quando é o quadrado definido por e .
Para resolver isso, vamos aplicar a transformação nos pontos de cada conjunto e ver como eles se comportam no plano .

Passo 2

Parte a): Vamos começar com sendo a reta .
Quando , as equações da transformação ficam:
Então, qualquer ponto na reta é mapeado para um ponto onde .
Interpretação: Isso significa que a imagem de sob é a reta no plano .

Passo 3

Parte b): Agora, vamos considerar como o quadrado definido por e .
Para desenhar , vamos transformar os vértices do quadrado e ver como ele fica no plano .
Os vértices do quadrado são:
Vamos aplicar a transformação a cada um desses pontos:
  1. Para :
Então, .
  1. Para :
Então, .
  1. Para :
Então, .
  1. Para :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos plotar esses pontos no plano :
Conectando esses pontos, percebemos que a imagem é um losango com os vértices nos pontos mencionados.

Resposta

a) A imagem de quando é a reta é a reta .
b) A imagem de quando é o quadrado e é um losango com vértices em , , e .

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