Considere a transformação
de
em
dada por
e
. Desenhe
a) sendo
a reta
.
b) sendo
o quadrado
.
a) sendo
b) sendo
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Temos uma transformação
que pega pontos de
e os transforma em outros pontos de
usando as equações:
O exercício quer que a gente desenhe a imagem dessa transformação
para dois conjuntos
:
a) Quando é a reta
.
b) Quando é o quadrado definido por
e
.
Para resolver isso, vamos aplicar a transformação nos pontos de cada conjunto e ver como eles se comportam no plano
.
a) Quando
b) Quando
Para resolver isso, vamos aplicar a transformação nos pontos de cada conjunto
Passo 2
Parte a): Vamos começar com
sendo a reta
.
Quando
, as equações da transformação ficam:
Então, qualquer ponto na reta
é mapeado para um ponto onde
.
Interpretação: Isso significa que a imagem de
sob
é a reta
no plano
.
Passo 3
Parte b): Agora, vamos considerar
como o quadrado definido por
e
.
Para desenhar
, vamos transformar os vértices do quadrado
e ver como ele fica no plano
.
Os vértices do quadrado
são:
Vamos aplicar a transformação
a cada um desses pontos:
- Para
:
Então,
.
- Para
:
Então,
.
- Para
:
Então,
.
- Para
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos plotar esses pontos no plano
:
Conectando esses pontos, percebemos que a imagem
é um losango com os vértices nos pontos mencionados.
Resposta
a) A imagem de
quando
é a reta
é a reta
.
b) A imagem de
quando
é o quadrado
e
é um losango com vértices em
,
,
e
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla da função
na pirâmide de vértices
.
Calcule a integral tripla de
no conjunto
e
.
Determine a solução geral das EDOs lineares de
ordem abaixo:
;
Resolva as equações diferenciais abaixo por separação de variáveis:
;