Calcule a integral tripla da função na pirâmide de vértices .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral tripla da função dentro de uma pirâmide com vértices nos pontos , , e . Isso tudo está relacionado ao conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente no tema de Integrais Triplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para a pirâmide e então calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a pirâmide. Essa pirâmide é um tetraedro com base no plano e o vértice superior no ponto . Para configurar a integral tripla, precisamos determinar os limites de , e que descrevem essa região.
Passo 3
Vamos começar encontrando a relação entre em função de e . Observando os vértices, podemos perceber que a pirâmide está limitada pelas planos que ligam esses pontos. O plano que forma a face lateral da pirâmide pode ser encontrado pela equação . Isso nos dá o limite superior para em termos de e .
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites para em função de . Observando a base da pirâmide no plano , vemos que e variam de 0 a 2, mas estão limitados pela linha . Portanto, para um valor fixo de , varia de 0 a .
Passo 5
Finalmente, varia de 0 a 2, pois esses são os limites mais externos na base da pirâmide. Com isso, temos todos os limites de integração definidos.
Passo 6
Agora que temos os limites, podemos configurar a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em relação a .
Passo 7
Integrando em relação a de 0 a :
Substituindo os limites:
Passo 8
Agora, vamos integrar o resultado acima em relação a de 0 a :
Isso requer a distribuição e integração termo a termo:
Passo 9
Resolvendo cada uma dessas integrais separadamente:
Primeira Integral:
Segunda Integral:
Fazemos a substituição , então , e integramos em termos de .
Terceira Integral:
Após calcular essas integrações, somamos os resultados.
Passo 10
Finalmente, integramos o resultado obtido em relação a de 0 a 2:
Isso dará o valor final da integral tripla.
Resposta
Após realizar todas as integrações passo a passo, o valor da integral tripla é: