Seja a função
(e)
Usando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de
. Use o quadriculado no verso da prova.
(e)
Passo 1
Vamos entender qual é o problema. Temos a função
e precisamos fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, identificando pontos importantes como interceptos, assíntotas e o comportamento geral da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Isso mostra que a função é composta de uma parte linear
e uma parte racional
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função.
Intercepto com o eixo y:
Para encontrar o intercepto com o eixo y, substituímos
na função. Porém, quando fazemos isso, o denominador fica zero:
Isso significa que a função não está definida em
, então não há intercepto com o eixo y.
Interceptos com o eixo x:
Para encontrar onde a função cruza o eixo x, resolvemos
:
Portanto, os interceptos com o eixo x estão em
e
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntota vertical:
Como o denominador
se anula em
, há uma assíntota vertical nessa posição:
Assíntota oblíqua:
Para encontrar a assíntota oblíqua, observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Dividindo os termos de maior grau no numerador e denominador:
Quando
cresce,
tende a zero, então a função se aproxima de
. Portanto, a assíntota oblíqua é:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos definidos pelas assíntotas.
-
Para
: - Conforme
aumenta, se aproxima de , indo para .
- Conforme
-
Para
: - Conforme
diminui (tende a ), também se aproxima de , indo para .
- Conforme
Além disso, a fun��ão apresenta variações em torno da assíntota vertical
, mudando de sinal conforme
passa de negativo para positivo.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Assíntota Vertical em
. - Assíntota Oblíqua em
. - Interceptos com o eixo x em
e . - Comportamento da função que se aproxima das assíntotas conforme
tende a .
Resposta
O gráfico de
possui uma assíntota vertical em
, uma assíntota oblíqua em
, intercepta-se com o eixo x nos pontos
e
, e a função se comporta de forma semelhante à reta
quando
tende ao infinito positivo ou negativo.
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. Justifique as suas respostas.
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e
.