Seja a função
(e) Usando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de . Use o quadriculado no verso da prova.

Passo 1

Vamos entender qual é o problema. Temos a função e precisamos fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, identificando pontos importantes como interceptos, assíntotas e o comportamento geral da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Isso mostra que a função é composta de uma parte linear e uma parte racional .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função.
Intercepto com o eixo y:
Para encontrar o intercepto com o eixo y, substituímos na função. Porém, quando fazemos isso, o denominador fica zero:
Isso significa que a função não está definida em , então não há intercepto com o eixo y.
Interceptos com o eixo x:
Para encontrar onde a função cruza o eixo x, resolvemos :
Portanto, os interceptos com o eixo x estão em e .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntota vertical:
Como o denominador se anula em , há uma assíntota vertical nessa posição:
Assíntota oblíqua:
Para encontrar a assíntota oblíqua, observamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Dividindo os termos de maior grau no numerador e denominador:
Quando cresce, tende a zero, então a função se aproxima de . Portanto, a assíntota oblíqua é:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos definidos pelas assíntotas.
  1. Para :
    • Conforme aumenta, se aproxima de , indo para .
  2. Para :
    • Conforme diminui (tende a ), também se aproxima de , indo para .
Além disso, a fun��ão apresenta variações em torno da assíntota vertical , mudando de sinal conforme passa de negativo para positivo.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Assíntota Vertical em .
  • Assíntota Oblíqua em .
  • Interceptos com o eixo x em e .
  • Comportamento da função que se aproxima das assíntotas conforme tende a .

Resposta

O gráfico de possui uma assíntota vertical em , uma assíntota oblíqua em , intercepta-se com o eixo x nos pontos e , e a função se comporta de forma semelhante à reta quando tende ao infinito positivo ou negativo.

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