Calcule a integral tripla de e e
Resposta: 4,6875
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla da função sobre a região definida por:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a troca de variáveis e os limites de integração para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A região é definida por três desigualdades:
Vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar essas desigualdades. Vamos definir:
Passo 3
Com essa mudança, precisamos expressar em termos de . Porém, para facilitar, vamos considerar que , então temos:
(porque implica )
Substituindo em e :
Passo 4
Agora, resolvemos para em termos de e :
A partir de , temos .
Substituindo na expressão de :
Então, podemos resolver para :
Passo 5
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano é o determinante da matriz de derivadas parciais:
Após calcular, obtemos .
Passo 6
Com as variáveis trocadas e o Jacobiano, a integral original se transforma em uma integral mais simples:
Substituindo e simplificando, conseguimos integrar passo a passo.
Passo 7
Após realizar as integrações (que envolvem funções trigonométricas e polinômios), e aplicar os limites de integração corretamente, chegamos ao valor final da integral.