Calcule a integral tripla de f(x, y, z) = ((x - y)^3 * cos(2 * x + y - z)) / raiz5(x + 2 * y + 3 * z) e B: 0 <= 2x + y - z <= pi/2, 1 + y <= x <= 2 + y e 0 <= x + 2y + 3z <= 1
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla da função sobre a região definida por:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente a troca de variáveis e os limites de integração para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A região é definida por três desigualdades:
Vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar essas desigualdades. Vamos definir:

Passo 3

Com essa mudança, precisamos expressar em termos de . Porém, para facilitar, vamos considerar que , então temos:
  • (porque implica )
  • Substituindo em e :

Passo 4

Agora, resolvemos para em termos de e :
A partir de , temos .
Substituindo na expressão de :
Então, podemos resolver para :

Passo 5

Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano é o determinante da matriz de derivadas parciais:
Após calcular, obtemos .

Passo 6

Com as variáveis trocadas e o Jacobiano, a integral original se transforma em uma integral mais simples:
Substituindo e simplificando, conseguimos integrar passo a passo.

Passo 7

Após realizar as integrações (que envolvem funções trigonométricas e polinômios), e aplicar os limites de integração corretamente, chegamos ao valor final da integral.

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