Calcule a integral tripla de no conjunto e .
Resposta: 28,27
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla da função sobre o conjunto definido por e . Isso envolve calcular volumes em três dimensões usando cálculo integral. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher a melhor coordenada para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . A condição descreve um círculo de raio 3 no plano . A outra condição, , nos dá os limites de acima desse círculo. Como temos simetria circular, uma boa ideia é usar coordenadas polares (cilíndricas) para simplificar a integral.
Passo 3
Nas coordenadas cilíndricas, fazemos as seguintes substituições:
E o elemento de volume se transforma em:
A função vira:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. O raio varia de 0 a 3 (já que ). O ângulo varia de 0 a para cobrir todo o círculo. Para , os limites são de 0 a . Substituindo e em coordenadas cilíndricas: