Calcule a integral tripla de f(x, y, z) = x no conjunto B: x^2 + y^2 <= 9 e 0 <= z <= y - x.
Resposta: 28,27
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla da função sobre o conjunto definido por e . Isso envolve calcular volumes em três dimensões usando cálculo integral. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher a melhor coordenada para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A condição descreve um círculo de raio 3 no plano . A outra condição, , nos dá os limites de acima desse círculo. Como temos simetria circular, uma boa ideia é usar coordenadas polares (cilíndricas) para simplificar a integral.

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas, fazemos as seguintes substituições:
E o elemento de volume se transforma em:
A função vira:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. O raio varia de 0 a 3 (já que ). O ângulo varia de 0 a para cobrir todo o círculo. Para , os limites são de 0 a . Substituindo e em coordenadas cilíndricas:

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral tripla:
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos separar em duas integrais:

Passo 8

Calculando as integrais em :
Então, temos:

Passo 9

Agora, vamos resolver as integrais em :
éçãí
é
Portanto, temos:

Resposta

A integral tripla vale .

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