Calcule o volume do sólido compreendido entre z = x^2 + y^2 e z = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que fica entre as superfícies e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o uso de integrais múltiplas para encontrar volumes entre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. A superfície é um paraboloide que se abre para cima, e é um plano horizontal. Queremos encontrar o volume que está entre essas duas superfícies.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que o problema tem simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, , e . A equação do paraboloide fica e o plano continua .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • vai de 0 até o valor onde as duas superfícies se encontram. Igualando , temos .
  • varia de 0 a para cobrir todo o círculo.
  • varia de até 2.

Passo 5

A expressão para o volume em coordenadas cilíndricas é dada por:
Aqui, o termo é o Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 7

Substituindo de volta na integral, temos:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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