Calcule o volume do sólido compreendido entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que fica entre as superfícies
e
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o uso de integrais múltiplas para encontrar volumes entre superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. A superfície
é um paraboloide que se abre para cima, e
é um plano horizontal. Queremos encontrar o volume que está entre essas duas superfícies.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que o problema tem simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas,
,
e
. A equação do paraboloide fica
e o plano continua
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração:
-
vai de 0 até o valor onde as duas superfícies se encontram. Igualando , temos . -
varia de 0 a para cobrir todo o círculo. -
varia de até 2.
Passo 5
A expressão para o volume em coordenadas cilíndricas é dada por:
Aqui, o termo
é o Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 7
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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e
e
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no conjunto
e
.
Resposta: 28,27
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Calcule os seguintes limites:
Explique por que não se pode usar a substituição para determinar o limite, calcule o limite algebricamente