Calcule a integral tripla exatamente:
integral0^2 integral-1^sen x integralz-x^z+x e^3 x(5 y+2 z) d y d z d x

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla:
integral0^2 integral-1^sen x integralz-x^z+x e^3 x(5 y+2 z) , dy , dz , dx
Este exercício envolve o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, precisamos entender como integrar função por função e como lidar com os limites de integração que dependem de outras variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . A função que vamos integrar é . Aqui, e são constantes em relação a , então podemos tratar como um fator constante diante da integral.

Passo 3

A integral em relação a integralz-x^z+x e^3x(5y + 2z) , dy = e^3x integralz-x^z+x (5y + 2z) , dy fica:
Agora, vamos calcular .

Passo 4

Integrando integral (5y + 2z) , dy = 52y^2 + 2z y + C em relação a :
Onde é a constante de integração, que vamos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de e^3x [ ( 52(z + x)^2 + 2z(z + x) ) - ( 52(z - x)^2 + 2z(z - x) ) ] de a :
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Expandindo os termos:
52(z^2 + 2zx + x^2) + 2z^2 + 2zx - ( 52(z^2 - 2zx + x^2) + 2z^2 - 2zx )
Simplificando:
52z^2 + 5zx + 52x^2 + 2z^2 + 2zx - 52z^2 + 5zx - 52x^2 - 2z^2 + 2zx
Agora, somando os termos semelhantes:
(5zx + 2zx + 5zx + 2zx) = 14zx
Então, a expressão simplificada é:
14zx cdot e^3x

Passo 7

Agora, nossa integral tripla reduz para uma dupla integral:
integral0^2 integral-1^sen x 14zx cdot e^3x , dz , dx
Vamos agora integrar em relação a .

Passo 8

Integrando 14x e^3x integral-1^sen x z , dz = 14x e^3x [ 12z^2 ]-1^sen x em relação a 14x e^3x ( 12(sen^2 x) - 12(-1)^2 ) = 14x e^3x ( 12sen^2 x - 12 ) :
Calculando:

Passo 9

Simplificando a expressão:
14x e^3x ( sen^2 x - 12 ) = 7x e^3x (sen^2 x - 1)
Sabemos que 7x e^3x (1 - cos2x - 1) = -7x e^3x cos2x , então:

Passo 10

Agora, nossa integral reduz para:
-7 integral0^2 x e^3x cos2x , dx
Essa integral requer o uso da integração por partes ou métodos de integração de funções envolvendo exponenciais e cossenos.

Passo 11

Aplicando a fórmula da integração por partes, onde escolhemos:
  • v = e^3x(3 cos2x + 2 sen2x)13
Calculamos e integramos para encontrar . A integral de envolve métodos de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas, e o resultado é:

Passo 12

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
-7 [ u v - integral v , du ] = -7 [ x cdot e^3x(3 cos2x + 2 sen2x)13 - integral e^3x(3 cos2x + 2 sen2x)13 , dx ]

Passo 13

Calculando a integral restante:
integral e^3x(3 cos2x + 2 sen2x)13 , dx = e^3x(sen2x + cos2x)13

Passo 14

Substituindo de volta:
-7 [ x e^3x(3 cos2x + 2 sen2x)13 - e^3x(sen2x + cos2x)13 ]0^2
Simplificando:
-713 e^3x [ x(3 cos2x + 2 sen2x) - (sen2x + cos2x) ]0^2

Passo 15

Calculando nos limites de 2(3 cos4 + 2 sen4) - (sen4 + cos4) e 0 - (sen0 + cos0) = -1 :
Para :
Para :

Passo 16

Substituindo de volta:
-713 [ e^6(6 cos4 + 4 sen4 - sen4 - cos4) - e^0(-1) ]
Simplificando:
-713 [ e^6(5 cos4 + 3 sen4) + 1 ]

Resposta

A integral tripla calculada exatamente é:
-713 [ e^6(5 cos 4 + 3 sin 4) + 1 ]

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