Calcule a integral tripla exatamente:

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla:
Este exercício envolve o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, precisamos entender como integrar função por função e como lidar com os limites de integração que dependem de outras variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . A função que vamos integrar é . Aqui, e são constantes em relação a , então podemos tratar como um fator constante diante da integral.

Passo 3

A integral em relação a fica:
Agora, vamos calcular .

Passo 4

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração, que vamos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de de a :
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Expandindo os termos:
Simplificando:
Agora, somando os termos semelhantes:
Então, a expressão simplificada é:

Passo 7

Agora, nossa integral tripla reduz para uma dupla integral:
Vamos agora integrar em relação a .

Passo 8

Integrando em relação a :
Calculando:

Passo 9

Simplificando a expressão:
Sabemos que , então:

Passo 10

Agora, nossa integral reduz para:
Essa integral requer o uso da integração por partes ou métodos de integração de funções envolvendo exponenciais e cossenos.

Passo 11

Aplicando a fórmula da integração por partes, onde escolhemos:
Calculamos e integramos para encontrar . A integral de envolve métodos de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas, e o resultado é:

Passo 12

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 13

Calculando a integral restante:

Passo 14

Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 15

Calculando nos limites de e :
Para :
Para :

Passo 16

Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

A integral tripla calculada exatamente é:

Exercícios relacionados

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido.
O sólido delimitado pelos paraboloides
em que é o sólido limitado abaixo pelo plano e acima pelo paraboloide
Resp.: .
Calcule a área da região limitada pelas retas e pela curva .
Determine, mas não calcule, expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa, e © o momento de inércia em relação ao eixo do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano com função densidade