Calcule a integral tripla exatamente:
Passo 1
Vamos resolver a integral tripla:
Este exercício envolve o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, precisamos entender como integrar função por função e como lidar com os limites de integração que dependem de outras variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A função que vamos integrar é
. Aqui,
e
são constantes em relação a
, então podemos tratar
como um fator constante diante da integral.
Passo 3
A integral em relação a
fica:
Agora, vamos calcular
.
Passo 4
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que vamos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
de
a
:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 6
Expandindo os termos:
Simplificando:
Agora, somando os termos semelhantes:
Então, a expressão simplificada é:
Passo 7
Agora, nossa integral tripla reduz para uma dupla integral:
Vamos agora integrar em relação a
.
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Calculando:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Sabemos que
, então:
Passo 10
Agora, nossa integral reduz para:
Essa integral requer o uso da integração por partes ou métodos de integração de funções envolvendo exponenciais e cossenos.
Passo 11
Aplicando a fórmula da integração por partes, onde escolhemos:
Calculamos
e integramos
para encontrar
. A integral de
envolve métodos de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas, e o resultado é:
Passo 12
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 13
Calculando a integral restante:
Passo 14
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 15
Calculando nos limites de
e
:
Para :
Para
Para
:
Passo 16
Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
A integral tripla calculada exatamente é:
Exercícios relacionados
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido.
O sólido delimitado pelos paraboloides
O sólido delimitado pelos paraboloides
em que
é o sólido limitado abaixo pelo plano
e acima pelo paraboloide
Resp.:
.
Calcule a área da região limitada pelas retas
e pela curva
.
Determine, mas não calcule, expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa, e © o momento de inércia em relação ao eixo
do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
com função densidade