em que
é o sólido limitado abaixo pelo plano
e acima pelo paraboloide
Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral tripla de
no sólido
. Esse sólido é limitado por dois lugares: debaixo pelo plano
e em cima pelo paraboloide
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando lidamos com simetrias circulares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como transformar nosso paraboloide e o plano para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, usamos
,
e
, onde
e
.
O paraboloide
vira
. O plano
continua
em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração:
- Para
: O paraboloide e o plano se interceptam quando . Resolvendo isso: então . - Para
: Como o sólido é simétrico em torno do eixo , vai de a . - Para
: Vai de (o plano de baixo) até (o paraboloide de cima).
Passo 4
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica assim:
Aqui, o
extra vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas (
).
Passo 5
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 6
Agora, multiplicamos pelo
e integramos em
:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Por fim, integramos em
:
Resposta
A integral tripla é igual a
.