integral triplaE z d V
em que E é o sólido limitado abaixo pelo plano z=2 e acima pelo paraboloide
z=6-x^2-y^2
Resp.: 80 pi3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral tripla de no sólido . Esse sólido é limitado por dois lugares: debaixo pelo plano e em cima pelo paraboloide . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando lidamos com simetrias circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como transformar nosso paraboloide e o plano para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, usamos , e , onde e .
O paraboloide vira . O plano continua em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • Para : O paraboloide e o plano se interceptam quando . Resolvendo isso: então .
  • Para : Como o sólido é simétrico em torno do eixo , vai de a .
  • Para : Vai de (o plano de baixo) até (o paraboloide de cima).

Passo 4

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica assim:
integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^2 integral2^6 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, o extra vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas ( ).

Passo 5

Vamos resolver a integral em integral2^6 - r^2 z , dz = [ z^22 ]2^6 - r^2 = (6 - r^2)^22 - 2^22 = (36 - 12r^2 + r^4)2 - 2 = 18 - 6r^2 + r^42 - 2 = 16 - 6r^2 + r^42 primeiro:

Passo 6

Agora, multiplicamos pelo integral0^2 (16 - 6r^2 + r^42) r , dr = integral0^2 (16r - 6r^3 + r^52) dr e integramos em [ 8r^2 - 6r^44 + r^612 ]0^2 = [ 8(4) - 6(16)4 + 6412 ] = 32 - 24 + 163 = 8 + 163 = 403 :
Integrando termo a termo:

Passo 7

Por fim, integramos em integral0^2pi 403 , dtheta = 403 cdot 2pi = 80pi3 :

Resposta

A integral tripla é igual a .

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