Use a integral tripla para determinar o volume do sólido.
O sólido delimitado pelos paraboloides z = x^2 + y^2 e z = 18 - x^2 - y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando integrais triplas para encontrar o volume de um sólido limitado pelos paraboloides e . Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral tripla e identificar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde os dois paraboloides se encontram. Para isso, igualamos as equações:
Resolvendo:
Isso significa que a região de interseção é um círculo de raio 3 no plano .

Passo 3

Como a região é circular e simétrica, fica mais fácil usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Os limites serão:
  • varia de 0 a 3 (raio do círculo de interseção).
  • varia de 0 a (completando o círculo).
  • varia do paraboloide de baixo ( ) ao de cima ( ).

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla para o volume :
Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integramos em relação a :
  1. Agora, a integral fica:
  1. Integramos em relação a :
  1. Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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