Use a integral tripla para determinar o volume do sólido.
O sólido delimitado pelos paraboloides
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando integrais triplas para encontrar o volume de um sólido limitado pelos paraboloides e . Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral tripla e identificar os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde os dois paraboloides se encontram. Para isso, igualamos as equações:
Resolvendo:
Isso significa que a região de interseção é um círculo de raio 3 no plano .
Passo 3
Como a região é circular e simétrica, fica mais fácil usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Os limites serão:
varia de 0 a 3 (raio do círculo de interseção).
varia de 0 a (completando o círculo).
varia do paraboloide de baixo () ao de cima ().
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla para o volume :