Calcule a integral tripla da função , sobre o sólido do octante, delimitado pelos planos coordenados e pelos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla da função sobre um sólido no primeiro octante. Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante: é a parte do espaço onde , e são todos positivos. Além disso, o sólido é delimitado pelos planos coordenados (, , ) e pelos planos e . Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para , e nesse espaço.
Passo 2
Vamos visualizar o sólido. Primeiro, o plano é uma reta no plano que vai de a . O plano pode ser reescrito como . No primeiro octante, vai de 0 até . Então, para cada ponto no plano , varia de 0 a .
Passo 3
Vamos definir os limites de integração. Primeiro, varia de 0 a 1. Para cada , vai de 0 até (já que ). E para cada e , varia de 0 a . Portanto, nossa integral tripla fica:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é:
Integrando termo a termo:
Então, avaliando de 0 a :
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral dupla:
Vamos integrar em relação a :
Primeiro, expanda :
Então, a integral fica:
Integrando cada termo:
Substituindo :
Passo 6
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Simplificando:
Combinando termos semelhantes:
Portanto, a expressão simplificada é:
Multiplicando por 2:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a :