Calcule a integral tripla da função f(x, y, z) = x + y + 2z, sobre o sólido do octante, delimitado pelos planos coordenados e pelos planos x + y - z = 0 e x + y = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla da função sobre um sólido no primeiro octante. Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante: é a parte do espaço onde , e são todos positivos. Além disso, o sólido é delimitado pelos planos coordenados ( , , ) e pelos planos e . Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para , e nesse espaço.

Passo 2

Vamos visualizar o sólido. Primeiro, o plano é uma reta no plano que vai de a . O plano pode ser reescrito como . No primeiro octante, vai de 0 até . Então, para cada ponto no plano , varia de 0 a .

Passo 3

Vamos definir os limites de integração. Primeiro, varia de 0 a 1. Para cada , vai de 0 até (já que ). E para cada e , varia de 0 a . Portanto, nossa integral tripla fica:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é:
Integrando termo a termo:
Então, avaliando de 0 a :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral dupla:
Vamos integrar em relação a :
Primeiro, expanda :
Então, a integral fica:
Integrando cada termo:
Substituindo :

Passo 6

Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Simplificando:
Combinando termos semelhantes:
Portanto, a expressão simplificada é:
Multiplicando por 2:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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