Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
12. Sólido contido no cone , limitado pela esfera de centro na origem e raio 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está dentro do cone e também dentro da esfera com centro na origem e raio 1. Para isso, vamos usar integração tripla, que é uma ferramenta poderosa para calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as formas que limitam o sólido. O cone pode ser reescrito como em coordenadas cilíndricas, onde . A esfera de raio 1 com centro na origem é dada por , que em coordenadas cilíndricas fica .

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque nesse sistema, as equações do cone e da esfera ficam mais fáceis de lidar. Nas coordenadas cilíndricas, temos:

  • E o elemento de volume é .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • varia de a porque vamos girar em torno de todo o círculo.
  • varia de até o ponto onde o cone e a esfera se intersectam. Para encontrar esse ponto, igualamos as duas equações: Substituindo na equação da esfera:
  • varia de (no cone) até (na esfera).

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 8

Resolvemos cada integral interna separadamente.
Para , usamos a substituição , então . A integral se torna:
Avaliando de a :
Para , temos:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando:

Passo 10

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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