Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
12. Sólido contido no cone , limitado pela esfera de centro na origem e raio 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está dentro do cone e também dentro da esfera com centro na origem e raio 1. Para isso, vamos usar integração tripla, que é uma ferramenta poderosa para calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as formas que limitam o sólido. O cone pode ser reescrito como em coordenadas cilíndricas, onde . A esfera de raio 1 com centro na origem é dada por , que em coordenadas cilíndricas fica .
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque nesse sistema, as equações do cone e da esfera ficam mais fáceis de lidar. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é .
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para cada variável:
varia de a porque vamos girar em torno de todo o círculo.
varia de até o ponto onde o cone e a esfera se intersectam. Para encontrar esse ponto, igualamos as duas equações:Substituindo na equação da esfera:
varia de (no cone) até (na esfera).
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 8
Resolvemos cada integral interna separadamente.
Para , usamos a substituição , então . A integral se torna: