O volume de um certo sólido é dado por
Descreva o sólido por meio das equações das superfícies que o delimitam, e exprima o mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo! Temos um sólido cujo volume é dado por uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
O que precisamos fazer:
  1. Descrever o sólido usando as equações das superfícies que o limitam.
  2. Reescrever o volume dessa mesma região usando coordenadas cilíndricas através de uma integral tripla.
Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles definem o sólido, além de conhecer a conversão entre coordenadas cartesianas e cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração para entender as superfícies que delimitam o sólido.
  • Limite para : Vai de 0 a 2.
  • Para cada , o limite para : Vai de 0 até .
  • Para cada , o limite para : Vai de até .
Entendendo as superfícies:
  1. Superfície para :
    • A equação representa a parte superior de uma esfera com raio 2 centrada na origem.
    • Da mesma forma, representa a parte inferior dessa esfera.
  2. Superfície para :
    • A equação pode ser rearranjada para , que é um círculo com raio 1 e centro em .
  3. Limite para : De 0 a 2, o que corresponde ao diâmetro do círculo mencionado acima.
Conclusão:
O sólido é a interseção da esfera de raio 2 centrada na origem com o cilindro derivado do círculo . Ou seja, estamos olhando para a parte da esfera que está “cortada” por esse cilindro.

Passo 3

Agora que identificamos as superfícies que delimitam o sólido, vamos reescrever o volume usando coordenadas cilíndricas.
Por que coordenadas cilíndricas?
Coordenadas cilíndricas ( ) são perfeitas para situações com simetria circular ou esférica, como é o caso aqui. Elas facilitam a descrição de regiões circulares e esféricas.
Conversão entre coordenadas:
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é

Passo 4

Vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas cilíndricas.
  1. Para :
    • A esfera em coordenadas cilíndricas fica .
    • Então, para cada , varia de a .
  2. Para :
    • A equação do cilindro em coordenadas cilíndricas:
    • Como é sempre não negativo, varia de 0 a .
  3. Para :
    • O círculo está no primeiro e quarto quadrantes, mas dado que varia de 0 a no enunciado original, estamos apenas considerando de 0 a (primeiro e segundo quadrantes).
Limites finais:
  • de 0 a
  • de 0 a
  • de a

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas com os limites determinados:
Detalhando a integral:
  1. Integração em :
    • Integramos de a , o que nos dá a altura da esfera para cada .
  2. Integração em :
    • De 0 a , cobrindo toda a extensão do cilindro na horizontal.
  3. Integração em :
    • De 0 a , cobrindo o ângulo necessário para abranger toda a região relevante.

Resposta

Portanto, o volume do sólido pode ser expresso em coordenadas cilíndricas pela integral tripla:

Exercícios relacionados

Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(e) A reta de equação fixados).
Calcule a integral tripla da função , sobre o sólido do octante, delimitado pelos planos coordenados e pelos planos e .
Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
06. Cubo de aresta .
Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
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