O volume de um certo sólido é dado por
Descreva o sólido por meio das equações das superfícies que o delimitam, e exprima o mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo! Temos um sólido cujo volume é dado por uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
O que precisamos fazer:
- Descrever o sólido usando as equações das superfícies que o limitam.
- Reescrever o volume dessa mesma região usando coordenadas cilíndricas através de uma integral tripla.
Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como eles definem o sólido, além de conhecer a conversão entre coordenadas cartesianas e cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração para entender as superfícies que delimitam o sólido.
- Limite para
: Vai de 0 a 2. - Para cada
, o limite para : Vai de 0 até . - Para cada
, o limite para : Vai de até .
Entendendo as superfícies:
-
Superfície para
: - A equação
representa a parte superior de uma esfera com raio 2 centrada na origem. - Da mesma forma,
representa a parte inferior dessa esfera.
- A equação
-
Superfície para
: - A equação
pode ser rearranjada para , que é um círculo com raio 1 e centro em .
- A equação
-
Limite para
: De 0 a 2, o que corresponde ao diâmetro do círculo mencionado acima.
Conclusão:
O sólido é a interseção da esfera de raio 2 centrada na origem com o cilindro derivado do círculo . Ou seja, estamos olhando para a parte da esfera que está “cortada” por esse cilindro.
O sólido é a interseção da esfera de raio 2 centrada na origem com o cilindro derivado do círculo
Passo 3
Agora que identificamos as superfícies que delimitam o sólido, vamos reescrever o volume usando coordenadas cilíndricas.
Por que coordenadas cilíndricas?
Coordenadas cilíndricas (
) são perfeitas para situações com simetria circular ou esférica, como é o caso aqui. Elas facilitam a descrição de regiões circulares e esféricas.
Conversão entre coordenadas:
-
-
-
- O elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é
Passo 4
Vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas cilíndricas.
-
Para
: - A esfera
em coordenadas cilíndricas fica . - Então, para cada
, varia de a .
- A esfera
-
Para
: - A equação do cilindro
em coordenadas cilíndricas: - Como
é sempre não negativo, varia de 0 a .
- A equação do cilindro
-
Para
: - O círculo
está no primeiro e quarto quadrantes, mas dado que varia de 0 a no enunciado original, estamos apenas considerando de 0 a (primeiro e segundo quadrantes).
- O círculo
Limites finais:
-
de 0 a -
de 0 a -
de a
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas com os limites determinados:
Detalhando a integral:
-
Integração em
: - Integramos de
a , o que nos dá a altura da esfera para cada .
- Integramos de
-
Integração em
: - De 0 a
, cobrindo toda a extensão do cilindro na horizontal.
- De 0 a
-
Integração em
: - De 0 a
, cobrindo o ângulo necessário para abranger toda a região relevante.
- De 0 a
Resposta
Portanto, o volume do sólido pode ser expresso em coordenadas cilíndricas pela integral tripla:
Exercícios relacionados
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(e) A reta de equação fixados).
(e) A reta de equação
Calcule a integral tripla da função
, sobre o sólido do
octante, delimitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
.
Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
06. Cubo de aresta .
06. Cubo de aresta
Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
09. Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos e pelo cilindro
.
09. Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos