Determine a solução geral das EDOs lineares de 1^a ordem abaixo: y' - 2y = x^2 e^(2x);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) linear de primeira ordem:
Esse tipo de equação faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares, e para solucioná-la, vamos precisar usar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. A equação está na forma geral:
Comparando com a nossa EDO:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ). Ele é calculado usando a fórmula:
No nosso caso:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a nossa equação para:

Passo 5

Agora, integraremos ambos os lados em relação a :
A integral da derivada é simplesmente:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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