Calcule a integral tripla: , onde é delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos e . Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular , onde é o volume delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Para isso, vamos usar conhecimento de integrais múltiplas e geometria dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. O cilindro parabólico nos dá o limite superior para , e é o limite inferior. Já os planos e delimitam o intervalo de .
Então, podemos definir os limites assim:
varia de a .
Para cada , varia de a (mas como o cilindro é em termos de , vamos ajustar isso).
varia de a .
Mas para simplificar, vamos integrar na ordem , depois , e por último .
Passo 3
Vamos estabelecer os limites de integração:
Para : vai de a .
Para : observando , quando , varia de a .
Para : de a , conforme os planos dados.
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral com respeito a primeiro. Como não depende de , a integral fica:
Então, a integral agora é:
Passo 5
Vamos agora integrar com respeito a x^2 integral-1^1 e^y (1 - y^2) , dy . Expande-se a expressão dentro da integral:
integral-1^1 e^y , dy - integral-1^1 y^2 e^y , dy
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
x^2 ( (e - 1e) - (2e - 2e) ) = x^2 ( -e + 1e )
Calculando cada uma:
requer integração por partes, mas resulta em
Então:
Passo 6
Agora, integramos com respeito a integral-1^1 x^2 ( -e + 1e ) , dx = ( -e + 1e ) integral-1^1 x^2 , dx :
integral-1^1 x^2 , dx = 23
Sabemos que:
( -e + 1e ) cdot 23 = 23 ( -e + 1e ) = 23 cdot -e^2 + 1e
Portanto:
2(-e^2 + 1)3e = 2(1 - e^2)3e = 23e(1 - e^2)
Simplificando:
No entanto, percebemos que houve um erro nos sinais durante a integração por partes. Corrigindo isso, a resposta correta é: