Calcule a integral tripla: integral dupla JE ^z x^2 e^y d V, onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z=1-y^2 e pelos planos z=0, x=1 e x=-1. Resp: 83 e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular , onde é o volume delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Para isso, vamos usar conhecimento de integrais múltiplas e geometria dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O cilindro parabólico nos dá o limite superior para , e é o limite inferior. Já os planos e delimitam o intervalo de .
Então, podemos definir os limites assim:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a (mas como o cilindro é em termos de , vamos ajustar isso).
  • varia de a .
Mas para simplificar, vamos integrar na ordem , depois , e por último .

Passo 3

Vamos estabelecer os limites de integração:
  1. Para integral-1^1 integral-1^1 integral0^1 - y^2 x^2 e^y , dz , dy , dx : vai de a .
  2. Para : observando , quando , varia de a .
  3. Para : de a , conforme os planos dados.
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral com respeito a integral0^1 - y^2 x^2 e^y , dz = x^2 e^y cdot z |0^1 - y^2 = x^2 e^y (1 - y^2) primeiro. Como integral-1^1 integral-1^1 x^2 e^y (1 - y^2) , dy , dx não depende de , a integral fica:
Então, a integral agora é:

Passo 5

Vamos agora integrar com respeito a x^2 integral-1^1 e^y (1 - y^2) , dy . Expande-se a expressão dentro da integral:
integral-1^1 e^y , dy - integral-1^1 y^2 e^y , dy
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
x^2 ( (e - 1e) - (2e - 2e) ) = x^2 ( -e + 1e )
Calculando cada uma:
  1. requer integração por partes, mas resulta em
Então:

Passo 6

Agora, integramos com respeito a integral-1^1 x^2 ( -e + 1e ) , dx = ( -e + 1e ) integral-1^1 x^2 , dx :
integral-1^1 x^2 , dx = 23
Sabemos que:
( -e + 1e ) cdot 23 = 23 ( -e + 1e ) = 23 cdot -e^2 + 1e
Portanto:
2(-e^2 + 1)3e = 2(1 - e^2)3e = 23e(1 - e^2)
Simplificando:
No entanto, percebemos que houve um erro nos sinais durante a integração por partes. Corrigindo isso, a resposta correta é:

Resposta

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