Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r, para F(x, y, z)=(x+y^2, y+z^2, z+x^2), C é o triângulo com vértice (1,0,0),(0,2,0) e (0,0,1). A curva C está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (x + y^2, y + z^2, z + x^2). A curva C é o triângulo com vértices em (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,1), e está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes para resolver isso. Para aplicar o teorema, precisamos saber sobre campos vetoriais, integrais de linha, superfícies e a relação entre elas.

Passo 2

O Teorema de Stokes estabelece que a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva fechada C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S limitada por C. A fórmula do teorema é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Então, nosso primeiro passo é calcular o rotacional de F, ou seja, nabla times F.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F = (x + y^2, y + z^2, z + x^2). O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos calcular cada componente:
  • $ \frac{\partial F_3}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(z + x^{2}) = 0 $
  • $ \frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(y + z^{2}) = 2z $
  • $ \frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x + y^{2}) = 0 $
  • $ \frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(z + x^{2}) = 2x $
  • $ \frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y + z^{2}) = 0 $
  • $ \frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x + y^{2}) = 2y $
Então:
partial F3partial y = partialpartial y(z + x^2) = 0

Passo 4

Agora precisamos parametrizar a superfície S que está limitada pela curva C. Como C é um triângulo no espaço com vértices em (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,1), podemos encontrar uma equação para o plano que contém esses pontos.
Vamos assumir que o plano é da forma ax + by + cz = d. Usando os pontos dados:
Para (1,0,0): a(1) + b(0) + c(0) = d a = d
Para (0,2,0): a(0) + b(2) + c(0) = d 2b = d
Para (0,0,1): a(0) + b(0) + c(1) = d c = d
Então, temos a = d, b = d/2, c = d. Podemos escolher d = 1 para simplificar, então a equação do plano é:
x + 12y + z = 1

Passo 5

Precisamos agora encontrar uma parametrização para a superfície S. Podemos resolver a equação do plano para uma das variáveis, por exemplo, z:
z = 1 - x - 12y
Assim, podemos parametrizar a superfície usando x e y como parâmetros:
r(x, y) = (x, y, 1 - x - 12y)
Os limites para x e y são determinados pelos vértices do triângulo. Observando os pontos (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,1), vemos que x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a 2(1 - x).

Passo 6

Vamos calcular o vetor normal à superfície S. A parametrização é r(x, y) = (x, y, 1 - x - 12y). Calculamos os vetores tangentes:
rx = partial rpartial x = (1, 0, -1)
ry = partial rpartial y = (0, 1, -12)
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -12 = (0 cdot -12 - (-1) cdot 1, -(1 cdot -12 - (-1) cdot 0), 1 cdot 1 - 0 cdot 0) = (12, 12, 1)

Passo 7

Agora, vamos calcular (nabla times F) cdot n:
nabla times F = (-2z, -2x, -2y)
Substituindo z = 1 - x - 12y:
nabla times F = (-2(1 - x - 12y), -2x, -2y) = (-2 + 2x + y, -2x, -2y)
Então:
(nabla times F) cdot n = (-2 + 2x + y)(12) + (-2x)(12) + (-2y)(1) = (-1 + x + 12y) + (-x) + (-2y) = -1 - 32y

Passo 8

Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaD (-1 - 32y) dx dy
Onde D é a região no plano (x, y) limitada pelos vértices do triângulo. Como determinamos anteriormente, x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a 2(1 - x). Então, a integral fica:
integral0^1 integral0^2(1 - x) (-1 - 32y) dy dx

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em relação a y primeiro:
integral0^2(1 - x) (-1 - 32y) dy = [ -y - 34y^2 ]0^2(1 - x) = -2(1 - x) - 34 (2(1 - x))^2
Calculando:
-2(1 - x) - 34 cdot 4(1 - x)^2 = -2(1 - x) - 3(1 - x)^2

Passo 10

Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 [-2(1 - x) - 3(1 - x)^2] dx = -2 integral0^1 (1 - x) dx - 3 integral0^1 (1 - x)^2 dx
Calculando cada integral:
  1. -2 integral0^1 (1 - x) dx = -2 [ x - 12x^2 ]0^1 = -2 (1 - 12) = -2 cdot 12 = -1
  2. -3 integral0^1 (1 - x)^2 dx = -3 [ (1 - x)^33 ]0^1 = -3 cdot (0 - 13) = -3 cdot (-13) = 1
Então, a integral total é:
-1 + 1 = 0

Resposta

A integral integralC F cdot dr é igual a 0.

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