Use o Teorema de Stokes para calcular , para é o triângulo com vértice e . A curva está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva é o triângulo com vértices em , e , e está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes para resolver isso. Para aplicar o teorema, precisamos saber sobre campos vetoriais, integrais de linha, superfícies e a relação entre elas.

Passo 2

O Teorema de Stokes estabelece que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície limitada por . A fórmula do teorema é:
Então, nosso primeiro passo é calcular o rotacional de , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  • $ \frac{\partial F_3}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(z + x^{2}) = 0 $
  • $ \frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(y + z^{2}) = 2z $
  • $ \frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x + y^{2}) = 0 $
  • $ \frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(z + x^{2}) = 2x $
  • $ \frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y + z^{2}) = 0 $
  • $ \frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x + y^{2}) = 2y $
Então:

Passo 4

Agora precisamos parametrizar a superfície que está limitada pela curva . Como é um triângulo no espaço com vértices em , e , podemos encontrar uma equação para o plano que contém esses pontos.
Vamos assumir que o plano é da forma . Usando os pontos dados:
Para :
Para :
Para :
Então, temos , , . Podemos escolher para simplificar, então a equação do plano é:

Passo 5

Precisamos agora encontrar uma parametrização para a superfície . Podemos resolver a equação do plano para uma das variáveis, por exemplo, :
Assim, podemos parametrizar a superfície usando e como parâmetros:
Os limites para e são determinados pelos vértices do triângulo. Observando os pontos , e , vemos que varia de a e, para cada , varia de a .

Passo 6

Vamos calcular o vetor normal à superfície . A parametrização é . Calculamos os vetores tangentes:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Substituindo :
Então:

Passo 8

Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
Onde é a região no plano limitada pelos vértices do triângulo. Como determinamos anteriormente, varia de a e, para cada , varia de a . Então, a integral fica:

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro:
Calculando:

Passo 10

Agora, integramos em relação a :
Calculando cada integral:
Então, a integral total é:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Sejam . Mostre que
b) , com é solução da equação .
Se e , mostre que .
Calcule a integral tripla: , onde é delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos e . Resp:
Calcule a integral tripla: , onde E é limitado pelos cilindros parabólicos e e pelos planos e Resp: