Use o Teorema de Stokes para calcular , para é o triângulo com vértice e . A curva está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva é o triângulo com vértices em , e , e está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes para resolver isso. Para aplicar o teorema, precisamos saber sobre campos vetoriais, integrais de linha, superfícies e a relação entre elas.
Passo 2
O Teorema de Stokes estabelece que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície limitada por . A fórmula do teorema é:
Então, nosso primeiro passo é calcular o rotacional de , ou seja, .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Agora precisamos parametrizar a superfície que está limitada pela curva . Como é um triângulo no espaço com vértices em , e , podemos encontrar uma equação para o plano que contém esses pontos.
Vamos assumir que o plano é da forma . Usando os pontos dados:
Para : →
Para : →
Para : →
Então, temos , , . Podemos escolher para simplificar, então a equação do plano é:
Passo 5
Precisamos agora encontrar uma parametrização para a superfície . Podemos resolver a equação do plano para uma das variáveis, por exemplo, :
Assim, podemos parametrizar a superfície usando e como parâmetros:
Os limites para e são determinados pelos vértices do triângulo. Observando os pontos , e , vemos que varia de a e, para cada , varia de a .
Passo 6
Vamos calcular o vetor normal à superfície . A parametrização é . Calculamos os vetores tangentes:
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Passo 7
Agora, vamos calcular (nabla times F) cdot n:
nabla times F = (-2z, -2x, -2y)
Substituindo z = 1 - x - 12y:
nabla times F = (-2(1 - x - 12y), -2x, -2y) = (-2 + 2x + y, -2x, -2y)
Então:
(nabla times F) cdot n = (-2 + 2x + y)(12) + (-2x)(12) + (-2y)(1) = (-1 + x + 12y) + (-x) + (-2y) = -1 - 32y
Passo 8
Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaD (-1 - 32y) dx dy
Onde D é a região no plano (x, y) limitada pelos vértices do triângulo. Como determinamos anteriormente, x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a 2(1 - x). Então, a integral fica:
integral0^1 integral0^2(1 - x) (-1 - 32y) dy dx
Passo 9
Vamos resolver a integral interna em relação a y primeiro: