Calcule a integral tripla: , onde E é limitado pelos cilindros parabólicos e e pelos planos e Resp:

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla , onde a região é limitada pelos cilindros parabólicos e , e pelos planos e . Para resolver isso, precisamos entender como definir os limites de integração para , e , e aplicar os conceitos de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as curvas e para entender a região de integração no plano . Essas duas equações representam funções que se intersectam em certos pontos, formando uma região fechada.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos a :
Substituindo da primeira equação na segunda:
Assim, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para e . Observamos que entre e , a curva está abaixo de . Portanto, para cada no intervalo , varia de a .

Passo 5

Os limites para são dados pelos planos e . Isso significa que, para cada ponto na região definida, varia de até .

Passo 6

Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 8

Substituindo na integral, temos:
Vamos expandir :
Então, a integral se torna:

Passo 9

Integrando em relação a :
Somando as duas partes:

Passo 10

Agora, integramos em relação a de a :
Convertendo para o denominador comum 168:

Resposta

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