Calcule a integral tripla: integral triplaE^2 x y d V, onde E é limitado pelos cilindros parabólicos y=x^2 e x=y^2 e pelos planos z=0 e z=x+y Resp: 328

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla integral triplaE x y , dV, onde a região E é limitada pelos cilindros parabólicos y = x^2 e x = y^2, e pelos planos z = 0 e z = x + y. Para resolver isso, precisamos entender como definir os limites de integração para x, y e z, e aplicar os conceitos de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as curvas y = x^2 e x = y^2 para entender a região de integração no plano xy. Essas duas equações representam funções que se intersectam em certos pontos, formando uma região fechada.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos y = x^2 a x = y^2:
y = x^2 e x = y^2
Substituindo y da primeira equação na segunda:
x = (x^2)^2 implies x = x^4
x^4 - x = 0 implies x(x^3 - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1
Assim, os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para x e y. Observamos que entre x = 0 e x = 1, a curva y = x^2 está abaixo de y = raizx. Portanto, para cada x no intervalo [0,1], y varia de x^2 a raizx.

Passo 5

Os limites para z são dados pelos planos z = 0 e z = x + y. Isso significa que, para cada ponto (x, y) na região definida, z varia de 0 até x + y.

Passo 6

Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
integral triplaE x y , dV = integral0^1 integralx^2^raizx integral0^x + y x y , dz , dy , dx

Passo 7

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integral0^x + y x y , dz = x y [z]0^x + y = x y (x + y)

Passo 8

Substituindo na integral, temos:
integral0^1 integralx^2^raizx x y (x + y) , dy , dx
Vamos expandir x y (x + y):
x y (x + y) = x^2 y + x y^2
Então, a integral se torna:
integral0^1 integralx^2^raizx (x^2 y + x y^2) , dy , dx

Passo 9

Integrando em relação a y:
integralx^2^raizx x^2 y , dy = x^2 [ y^22 ]x^2^raizx = x^2 ( (raizx)^22 - (x^2)^22 ) = x^2 ( x2 - x^42 ) = x^32 - x^62
integralx^2^raizx x y^2 , dy = x [ y^33 ]x^2^raizx = x ( (raizx)^33 - (x^2)^33 ) = x ( x^3/23 - x^63 ) = x^5/23 - x^73
Somando as duas partes:
x^32 - x^62 + x^5/23 - x^73

Passo 10

Agora, integramos em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 ( x^32 - x^62 + x^5/23 - x^73 ) dx = 12 [ x^44 ]0^1 - 12 [ x^77 ]0^1 + 13 [ x^7/27/2 ]0^1 - 13 [ x^88 ]0^1
= 12 ( 14 - 0 ) - 12 ( 17 - 0 ) + 13 ( 27 - 0 ) - 13 ( 18 - 0 )
= 18 - 114 + 221 - 124
Convertendo para o denominador comum 168:
= 21168 - 12168 + 16168 - 7168 = 18168 = 328

Resposta

328

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