Calcule a integral tripla:
, onde E é limitado pelos cilindros parabólicos
e
e pelos planos
e
Resp:
Passo 1
Vamos calcular a integral tripla
, onde a região
é limitada pelos cilindros parabólicos
e
, e pelos planos
e
. Para resolver isso, precisamos entender como definir os limites de integração para
,
e
, e aplicar os conceitos de integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as curvas
e
para entender a região de integração no plano
. Essas duas equações representam funções que se intersectam em certos pontos, formando uma região fechada.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos
a
:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Assim, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
. Observamos que entre
e
, a curva
está abaixo de
. Portanto, para cada
no intervalo
,
varia de
a
.
Passo 5
Os limites para
são dados pelos planos
e
. Isso significa que, para cada ponto
na região definida,
varia de
até
.
Passo 6
Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 8
Substituindo na integral, temos:
Vamos expandir
:
Então, a integral se torna:
Passo 9
Integrando em relação a
:
Somando as duas partes:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
de
a
:
Convertendo para o denominador comum 168:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla:
, onde
é delimitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
. Resp:
Use o Teorema de Stokes para calcular
, para
é o triângulo com vértice
e
. A curva
está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Tarefa de casa - AULA 07: Primeiro desenhe e depois encontre a equação da elipse de focos
e um vértice é
.