Sejam a, b, c pertencem a R. Mostre que
b) y = e^(r t), com a * r^2 + b * r + c = 0 é solução da equação a y'' + b y' + c y = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que a função é uma solução da equação diferencial , dado que . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial e equações diferenciais de ordem segunda.

Passo 2

Para verificar se é solução, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de em relação a .
A primeira derivada de é:
A segunda derivada de é:

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação diferencial dada:

Passo 4

Fatorando da expressão, temos:
Sabemos que nunca é zero para qualquer valor real de e . Portanto, para que a equação seja satisfeita, o termo dentro do parênteses deve ser igual a zero:
Como essa condição está dada no enunciado, confirma que a função realmente satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A função é solução da equação diferencial quando .

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