Sejam
. Mostre que
b)
, com
é solução da equação
.
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que a função
é uma solução da equação diferencial
, dado que
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial e equações diferenciais de ordem segunda.
Passo 2
Para verificar se
é solução, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
em relação a
.
A primeira derivada de
é:
A segunda derivada de
é:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial dada:
Passo 4
Fatorando
da expressão, temos:
Sabemos que
nunca é zero para qualquer valor real de
e
. Portanto, para que a equação seja satisfeita, o termo dentro do parênteses deve ser igual a zero:
Como essa condição está dada no enunciado, confirma que a função
realmente satisfaz a equação diferencial.
Resposta
A função
é solução da equação diferencial
quando
.