Resolva a integral dupla abaixo, onde D é região delimitada pelo triângulo formado pelos pontos A=(0,-1), B=(1,0) e C=(0,1) :
integralD integral 6 x^2 d A

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla dada, onde a região é um triângulo com vértices em , e . O assunto aborda cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender como determinar os limites de integração e aplicar a fórmula da integral dupla.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. Vamos traçar o triângulo para ver como e se relacionam. Os lados do triângulo são:
  • De a : a equação da reta é .
  • De a : a equação da reta é .
  • De a : é a linha vertical .

Passo 3

Observando o triângulo, podemos ver que integralx=0^1 integraly=x-1^-x+1 6x^2 , dy , dx varia de 0 a 1. Para cada valor de , varia de até . Então, podemos escrever a integral dupla como:

Passo 4

Vamos primeiro integrar em relação a integral0^1 6x^2 (-2x + 2) , dx = integral0^1 (-12x^3 + 12x^2) , dx . A integral de em relação a é simplesmente multiplicado pela largura do intervalo de , que é . Então:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral (-12x^3 + 12x^2) , dx = -3x^4 + 4x^3 :
(-3(1)^4 + 4(1)^3) - (-3(0)^4 + 4(0)^3) = (-3 + 4) - 0 = 1
Avaliando de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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