Resolva a integral dupla abaixo, onde
é região delimitada pelo triângulo formado pelos pontos
e
:
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla dada, onde a região
é um triângulo com vértices em
,
e
. O assunto aborda cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender como determinar os limites de integração e aplicar a fórmula da integral dupla.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. Vamos traçar o triângulo para ver como
e
se relacionam. Os lados do triângulo são:
- De
a : a equação da reta é . - De
a : a equação da reta é . - De
a : é a linha vertical .
Passo 3
Observando o triângulo, podemos ver que
varia de 0 a 1. Para cada valor de
,
varia de
até
. Então, podemos escrever a integral dupla como:
Passo 4
Vamos primeiro integrar em relação a
. A integral de
em relação a
é simplesmente
multiplicado pela largura do intervalo de
, que é
. Então:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Avaliando de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais duplas:
, onde
Calcule a integral tripla
onde
.
Resolva a integral dupla abaixo, onde
é a região do primeiro quadrante formada pelas duas circunferências
e
O divergente de um campo vetorial
é um campo escalar definido por
. Se
é um campo vetorial, então calcule a integral tripla
, onde
é o sólido definido por
.