Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Isso significa que vamos precisar achar duas partes para a solução: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea, que aqui é .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente forma a equação característica substituindo :
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Então, temos uma raiz dupla . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é , usamos o método dos coeficientes a determinar. A gente assume que a solução particular tem a forma:
Aqui, , , e são constantes que vamos achar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original e igualamos os coeficientes de e para achar , , e .
Passo 6
Após resolver o sistema de equações para os coeficientes, encontramos: