Encontre a solução geral da equação não homogênea
y'' - 2y' + y = x * sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Isso significa que vamos precisar achar duas partes para a solução: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea, que aqui é .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente forma a equação característica substituindo :

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Então, temos uma raiz dupla . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é , usamos o método dos coeficientes a determinar. A gente assume que a solução particular tem a forma:
Aqui, A, B, C e D são constantes que vamos achar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação original e igualamos os coeficientes de sen(x) e para achar A, B, C e D.

Passo 6

Após resolver o sistema de equações para os coeficientes, encontramos:
Então, a solução particular fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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