Encontre a solução geral da equação não homogênea
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Isso significa que vamos precisar achar duas partes para a solução: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea, que aqui é
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente forma a equação característica substituindo
:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Então, temos uma raiz dupla
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, usamos o método dos coeficientes a determinar. A gente assume que a solução particular tem a forma:
Aqui,
,
,
e
são constantes que vamos achar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original e igualamos os coeficientes de
e
para achar
,
,
e
.
Passo 6
Após resolver o sistema de equações para os coeficientes, encontramos:
Então, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: